Как найти знаменатель геометрическая прогрессия. Знаменатель геометрической прогрессии формула как найти


Геометрическая прогрессия на примерах

Геометрическая прогрессия не менее важная в математике по сравнению с арифметической. Геометрической прогрессией называют такую последовательность чисел b1, b2,..., b[n] каждый следующий член которой, получается умножением предыдущего на постоянное число. Это число, которое также характеризует скорость роста или убывания прогрессии называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают

знаменатель геометрической прогрессии, формула

Для полного задания геометрической прогрессии кроме знаменателя необходимо знать или определить первый ее член. Для положительного значения знаменателя прогрессия является монотонной последовательностью, причем если это последовательность чисел является монотонно убывающей и при монотонно возрастающей. Случай, когда знаменатель равен единице на практике не рассматривается, поскольку имеем последовательность одинаковых чисел, а их суммирование не вызывает практического интереса

сумма геометрической прогрессии, формула

Общий член геометрической прогрессии вычисляют по формуле

общий член геометрической прогрессии, формула

Сумма n первых членов геометрической прогрессии определяют по формуле

сумма геометрической прогрессии, формула

Рассмотрим решения классических задач на геометрическую прогрессию. Начнем для понимания с простейших.

 

Пример 1. Первый член геометрической прогрессии равен 27, а ее знаменатель равен 1/3. Найти шесть первых членов геометрической прогрессии.

Решение: Запишем условие задачи в виде

Для вычислений используем формулу n-го члена геометрической прогрессии

На ее основе находим неизвестные члены прогрессии

вычисление членов прогрессии

вычисление членов прогрессии

вычисление членов прогрессии

вычисление членов прогрессии

вычисление членов прогрессии

Как можно убедиться, вычисления членов геометрической прогрессии несложные. Сама прогрессия будет выглядеть следующим образом

 

Пример 2. Даны три первых члена геометрической прогрессии : 6; -12; 24. Найти знаменатель и седьмой ее член.

Решение: Вычисляем знаменатель геомитрической прогрессии исходя из его определения

знаменатель геомитрической прогрессии

Получили знакопеременную геометрическую прогрессию знаменатель которой равен -2. Седьмой член вычисляем по формуле

вычисление

На этом задача решена.

 

Пример 3. Геометрическая прогрессия задана двумя ее членами . Найти десятый член прогрессии.

Решение:

Запишем заданные значения через формулы

По правилам нужно было бы найти знаменатель, а затем искать нужное значение, но для десятого члена имеем

Такую же формулу можно получить на основе нехитрых манипуляций с входными данными. Разделим шестой член ряда на другой, в результате получим

Если полученное значение умножить на шестой член, получим десятый

Таким образом, для подобных задач с помощью несложных преобразований в быстрый способ можно отыскать правильное решение.

 

Пример 4. Геометрическая прогрессия задано рекуррентными формулами

Найти знаменатель геометрической прогрессии и сумму первых шести членов.

Решение:

Запишем заданные данные в виде системы уравнений

Выразим знаменатель разделив второе уравнение на первое

Найдем первый член прогрессии из первого уравнения

Вычислим следующие пять членов для нахождения суммы геометрической прогрессии

члены геометрической прогрессии

члены геометрической прогрессии

члены геометрической прогрессии

члены геометрической прогрессии

члены геометрической прогрессии

Поскольку найти сумму в данном случае не составляет большого труда, то обходя простые выкладки сводим все слагаемые под общий знаменатель

сумма геометрической прогрессии

В общем случае, при нахождении суммы знакопеременных рядов следует выделять их положительную часть и отрицательную и найти отдельно их суммы по приведенным выше формулам. Наконец найденные значения добавить.

Примеры на геометрическую прогрессию не так сложны если знать несколько базовых формул. Все остальное сводится к простым математическим манипуляциям. Практикуйте с примерами самостоятельно и подобные задания будут для Вас несложными.

Похожие материалы:

yukhym.com

Как найти знаменатель геометрической прогрессии

Согласно определению, геометрическая прогрессия — это последовательность неравных нулю чисел, всякое дальнейшее из которых равно предыдущему, умноженному на некоторое непрерывное число (знаменатель прогрессии). При этом в геометрической прогрессии не должно быть ни одного нуля, напротив каждая последовательность «обнулятся», что противоречит определению. Дабы обнаружить знаменатель довольно знать значения 2-х ее соседних членов. Впрочем, не неизменно данные задачи бывают настоль примитивными.

Вам понадобится

Инструкция

1. Поделите всякий член прогрессии на предшествующий. Если значение предыдущего члена прогрессии незнакомо либо неопределено (скажем, для первого члена прогрессии), то поделите на всякий член последовательности значение дальнейшего члена прогрессии.Потому что ни один член геометрической прогрессии не равен нулю, то при выполнении этой операции не должно появиться загвоздок.

2. Пример.Пускай имеется последовательность чисел:10, 30, 90, 270…Требуется обнаружить знаменатель геометрической прогрессии.Решение:1 вариант. Возьмем произвольный член прогрессии (скажем, 90) и поделим его на предшествующий (30): 90/30=3.2 вариант. Возьмем всякий член геометрической прогрессии (скажем, 10) и поделим на него дальнейший (30): 30/10=3.Результат: знаменатель геометрической прогрессии 10, 30, 90, 270… равен 3.

3. Если значения членов геометрической прогрессии заданы не очевидно, а в форме соотношений, то составьте и решите систему уравнений.Пример.Сумма первого и четвертого члена геометрической прогрессии равняется 400 (b1+b4=400), а сумма второго и пятого члена равняется 100 (b2+b5=100).Требуется обнаружить знаменатель прогрессии.Решение:Запишите условие задачи в виде системы уравнений:b1+b4=400b2+b5=100Из определения геометрической прогрессии вытекает, что:b2=b1*qb4=b1*q^3b5=b1*q^4, где q – общепризнанное обозначение знаменателя геометрической прогрессии.Подставив в систему уравнений значения членов прогрессии, получите:b1+ b1*q^3=400b1*q+ b1*q^4=100После разложения на множители получается:b1*(1+q^3)=400b1*q(1+q^3)=100Теперь поделите соответствующие части второго уравнения на первое:[b1*q(1+q^3)] / [b1*(1+q^3)] = 100/400, откуда: q=1/4.

4. Если знаменита сумма нескольких членов геометрической прогрессии либо сумма всех членов убывающей геометрической прогрессии, то для нахождения знаменателя прогрессии воспользуйтесь соответствующими формулами:Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), где Sn – сумма n первых членов геометрической прогрессии и S = b1/(1-q), где S – сумма безгранично убывающей геометрической прогрессии (сумма всех членов прогрессии со знаменателем меньшим единицы).Пример.1-й член убывающей геометрической прогрессии равен единице, а сумма всех ее членов равна двум.Требуется определить знаменатель этой прогрессии.Решение:Подставьте данные из задачи в формулу. Получится:2=1/(1-q), откуда – q=1/2.

Прогрессия представляет собой последовательность чисел. В геометрической прогрессии весь дальнейший член получается умножением предыдущего на некоторое число q, называемое знаменателем прогрессии.

Инструкция

1. Если знаменито два соседних члена геометрической прогрессии b(n+1) и b(n), дабы получить знаменатель, нужно число с огромным индексом поделить на предшествующее ему: q=b(n+1)/b(n). Это следует из определения прогрессии и ее знаменателя. Значимым условием является неравенство нулю первого члена и знаменателя прогрессии, напротив прогрессия считается неопределенной.

2. Так, между членами прогрессии устанавливаются следующие соотношения: b2=b1•q, b3=b2•q, … , b(n)=b(n-1) •q. По формуле b(n)=b1•q^(n-1) может быть вычислен всякий член геометрической прогрессии, в которой знаменит знаменатель q и 1-й член b1. Также всякий из членов геометрической прогрессии по модулю равен среднему геометрическому своих соседних членов: |b(n)|=?[b(n-1)•b(n+1)], отсель прогрессия и получила свое наименование.

3. Аналогом геометрической прогрессии является простейшая показательная функция y=a^x, где довод x стоит в показателе степени, a – некоторое число. В этом случае знаменатель прогрессии совпадает с первым членом и равен числу a. Под значением функции y дозволено понимать n-й член прогрессии, если довод x принять за естественное число n (счетчик).

4. Существует формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии: S(n)=b1•(1-q^n)/(1-q). Данная формула объективна при q?1. Если q=1, то сумма первых n членов вычисляется формулой S(n)=n•b1. Кстати, прогрессия будет именоваться нарастающей при q большем единицы и правильном b1. При знаменателе прогрессии, по модулю не превышающем единицы, прогрессия будет именоваться убывающей.

5. Частный случай геометрической прогрессии – безмерно убывающая геометрическая прогрессия (б.у.г.п.). Дело в том, что члены убывающей геометрической прогрессии будут раз за разом уменьшаться, но никогда не достигнут нуля. Невзирая на это, дозволено обнаружить сумму всех членов такой прогрессии. Она определяется формулой S=b1/(1-q). Всеобщее число членов n беспредельно.

6. Дабы наглядно представить, как дозволено сложить безграничное число чисел и не получить при этом бесконечность, испеките торт. Отрежьте половину этого торта. После этого отрежьте 1/2 от половины, и так дальше. Ломтики, которые у вас будут получаться, являют собой не что иное, как члены безмерно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем 1/2. Если сложить все эти ломтики, вы получите начальный торт.

Задачи по геометрии — это специальная разновидность упражнений, требующая пространственного мышления. Если у вас не получается решить геометрическую задачу , испробуйте следовать нижеприведенным правилам.

Инструкция

1. Прочитайте дюже наблюдательно условие задачи, если что-то не запомнили либо не осознали, перечитайте еще раз.

2. Начертите чертеж к задаче на черновике. Проставьте на него все вестимые размеры, это нужно сделать старательно, дабы вы сами не запутались в этих данных.

3. Постарайтесь определить, к какому виду геометрических задач она относится, так, скажем: вычислительные, когда надобно узнать какую-либо величину, задачи на подтверждение, требующие логической цепочки рассуждений, задачи на построение при помощи циркуля и линейки. Еще бывают задачи смешанного типа. Когда вы узнали тип задачи, постарайтесь рассуждать логически.

4. Примените нужную теорему для решения данной задачи, если же есть сомнения либо вообще отсутствуют варианты, то постарайтесь припомнить теорию, которую вы проходили по соответствующей теме.

5. Оформите решение задачи также на черновике. Попытайтесь применить вестимые методы проверки верности вашего решения.

6. Оформите решение задачи старательно в тетради, без помарок и зачеркиваний, а основное — напишите результат.Допустимо, на решение первых геометрических задач уйдет много сил и времени. Впрочем, как только вы освоите данный процесс — начнете щелкать задачи по геометрии, как орешки, получая от этого наслаждение!

Геометрическая прогрессия — это такая последовательность чисел b1, b2, b3, … , b(n-1), b(n), что b2=b1*q, b3=b2*q, … , b(n)=b(n-1)*q, b1?0, q?0. Иными словами, весь член прогрессии получается из предыдущего умножением его на определенный ненулевой знаменатель прогрессии q.

Инструкция

1. Задачи на прогрессии почаще каждого решаются составлением и дальнейшим решением системы уравнений касательно первого члена прогрессии b1 и знаменателя прогрессии q. Для составления уравнений пригодно помнить некоторые формулы.

2. Как выразить n-й член прогрессии через 1-й член прогрессии и знаменатель прогрессии:b(n)=b1*q^(n-1).

3. Как обнаружить сумму первых n членов геометрической прогрессии, зная 1-й член b1 и знаменатель q:S(n)=b1+b2+…+b(n)=b1*(1-q^n)/(1-q).

4. Разглядим отдельно случай |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю поменьше единицы, имеем безмерно убывающую геометрическую прогрессию . Сумма первых n членов безгранично убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Впрочем в случае беспредельно убывающей геометрической прогрессии дозволено обнаружить также сумму всех членов этой прогрессии, от того что при безмерном увеличении n будет безмерно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет тяготиться к определенному пределу. Выходит, сумма всех членов безмерно убывающей геометрической прогрессии равна:S=b1/(1-q).

5. Еще одно главное качество геометрической прогрессии, которое и дало геометрической прогрессии такое наименование: весь член прогрессии является средним геометрическим соседних с ним членов (предыдущего и дальнейшего). Это значит, что b(k) есть корень квадратный из произведения:b(k-1)*b(k+1).

Арифметической последовательностью называют такой упорядоченный комплект чисел, всякий член которого, помимо первого, отличается от предыдущего на одну и ту же величину. Эта непрерывная величина именуется разностью прогрессии либо ее шагом и может быть рассчитана по знаменитым членам арифметической прогрессии.

Инструкция

1. Если из условий задачи знамениты значения первого и второго либо всякий иной пары соседних членов арифметической прогрессии, для вычисления разности (d) легко отнимите от дальнейшего члена предшествующий. Получившаяся величина может быть как позитивным, так и негативным числом — это зависит от того, является ли прогрессия нарастающей либо убывающей. В всеобщей форме решение для произвольно взятой пары (a? и a???) соседних членов прогрессии запишите так: d = a??? — a?.

2. Для пары членов такой прогрессии, один из которых является первым (a?), а иной — любым иным произвольно выбранным, тоже дозволено составить формулу нахождения разности (d). Впрочем в этом случае непременно должен быть знаменит порядковый номер (i) произвольного выбранного члена последовательности. Для вычисления разности сложите оба числа, а полученный итог поделите на уменьшенный на единицу порядковый номер произвольного члена. В всеобщем виде эту формулу запишите так: d = (a?+ a?)/(i-1).

3. Если помимо произвольного члена арифметической прогрессии с порядковым номером i знаменит иной ее член с порядковым номером u, измените формулу из предыдущего шага соответствующим образом. В этом случае разностью (d) прогрессии будет сумма этих 2-х членов, поделенная на разность их порядковых номеров: d = (a?+a?)/(i-v).

4. Формула вычисления разности (d) несколько усложнится, если в условиях задачи дано значение первого ее члена (a?) и сумма (S?) заданного числа (i) первых членов арифметической последовательности. Для приобретения желанного значения поделите сумму на число составивших ее членов, отнимите значение первого числа в последовательности, а итог удвойте. Получившуюся величину поделите на уменьшенное на единицу число членов, составивших сумму. В всеобщем виде формулу вычисления дискриминанта запишите так: d = 2*(S?/i-a?)/(i-1).

jprosto.ru

Как найти знаменатель геометрическая прогрессия

Обозначим точку пересечения биссектрис ?А и ?В буквой О, а биссектрисы АК и ВМ. Тогда ?АОМ — внешний для треугольника АОВ при вершине О. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов не смежных с ним: ?АОМ=?ОАВ+?ОВА. Но т.к. ?ОАВ и ?ОВА — половины углов А и В,.

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Таким образом, Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность заданная соотношениями

Q – знаменатель прогрессии

Геометрическая последовательность является Возрастающей, если b1 > 0, q > 1,

Например, 1, 3, 9, 27, 81.

Геометрическая последовательность является Убывающей, если b1 > 0, 0 < q < 1

Формула n-го члена геометрической прогрессии

Характеристическое свойство геометрической прогрессии.

Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего, в случае конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов.

Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна

Сумма n первых членов, бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна

Основные определения и данные для геометрической прогрессии сведенные в одну таблицу:

Определение геометрической прогрессии

Знаменатель геометрической прогрессии

Решение. В этом случае в основе решения лежит формула n-го члена геометрической прогрессии.

Подставив в эту формулу n = 6 получим:

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 12, 4, 4/3 , …

S = 12 / (1 — 1/3) = 12 / (2/3) = 12 · 3 / 2 = 18

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 150.

Как найти знаменатель геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Таким образом, Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность заданная соотношениями

Q – знаменатель прогрессии

Геометрическая последовательность является Возрастающей, если b1 > 0, q > 1,

Например, 1, 3, 9, 27, 81.

Геометрическая последовательность является Убывающей, если b1 > 0, 0 < q < 1

Формула n-го члена геометрической прогрессии

Характеристическое свойство геометрической прогрессии.

Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего, в случае конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов.

Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна

Сумма n первых членов, бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна

Основные определения и данные для геометрической прогрессии сведенные в одну таблицу:

Определение геометрической прогрессии

Знаменатель геометрической прогрессии

Решение. В этом случае в основе решения лежит формула n-го члена геометрической прогрессии.

Подставив в эту формулу n = 6 получим:

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 12, 4, 4/3 , …

S = 12 / (1 — 1/3) = 12 / (2/3) = 12 · 3 / 2 = 18

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 150.

Как найти знаменатель геометрическая прогрессия

Совет 1: Как найти знаменатель геометрической прогрессии

    Как найти знаменатель геометрической прогрессии Как продать свои открытки Биологическая защита растений

Так как ни один член геометрической прогрессии не равен нулю, то при выполнении этой операции не должно возникнуть проблем.

Пусть имеется последовательность чисел:

Сумма первого и четвертого члена геометрической прогрессии равняется 400 (b1+b4=400), а сумма второго и пятого члена равняется 100 (b2+b5=100).

Из определения геометрической прогрессии вытекает, что:

Подставив в систему уравнений значения членов прогрессии, получите:

После разложения на множители получается:

Теперь разделите соответствующие части второго уравнения на первое:

Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), где Sn – сумма n первых членов геометрической прогрессии и

S = b1/(1-q), где S – сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (сумма всех членов прогрессии со знаменателем меньшим единицы).

Совет 2: Как найти знаменатель прогрессии

Совет 3: Как решить геометрическую задачу

Совет 4: Как решать геометрическую прогрессию

как найти знаменатель геометрическая прогрессия

poiskvstavropole.ru

Геометрическая прогрессия. Часть 1

Геометрическая прогрессия - это еще один частный случай числовых последовательностей.

Геометрической  прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число. 

Очевидно, что первый член последовательности, и, следовательно, все ее члены, отличны от нуля.

Число q={b_k}/{b_{k-1}} называется знаменателем геометрической прогрессии.

 

Основное свойство геометрической прогрессии.

Мы видим, что

b_k={b_{k-1}}q

b_k={b_{k+1}}/q  

Перемножив эти два равенства, получим:

{b_k}^2={b_{k-1}}*{b_{k+1}}

Итак,

квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух соседних:

Нетрудно доказать, что

квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная с номера k>l , равен произведению двух соседних:

Формулу n-го члена геометрической прогрессии можно получить аналогично формуле n-го члена арифметической прогрессии, выписав несколько первых членов и установив закономерность.

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

ВАЖНО! Зная первый член и знаменатель геометрической прогрессии, можно найти любой ее член.

Несложно получить формулу суммы n членов геометрической прогрессии.

S_n=b_1+b_1{q}+b_1{q}^2+ b_1{q}^3+...b_1{q}^{n-1}  (1)

Умножим обе части равенства на q

S_{n}q= b_1{q}+b_1{q}^2+b_1{q}^3+ b_1{q}^4+...b_1{q}^{n} (2)

Вычтем из равенства (2) равенство (1). Получим:

S_{n}q-S_{n}=b_1{q}^{n}-b_1 (остальные слагаемые в правой части равенства взаимно уничтожатся)

S_{n}(q-1)=b_1({q}^{n}-1 )

Отсюда получаем формулу суммы n членов геометрической прогрессии:

(1)

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Если знаменатель геометрической прогрессии delim{|}{q}{|}<1 , то каждый следующий член прогрессии по модулю меньше предыдущего. Если в этой прогрессии бесконечное число членов, то при n{right}{infty}, ~b_n{right}0

Такая геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей.

Сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии мы находим по формуле:

(2)

ВАЖНО! Формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии (2) мы используем только в том случае, если в условии в явном виде указано, что нужно найти сумму бесконечного числа членов. Если указано конкретное число n, то пользуемся формулой (1) суммы n членов, даже если delim{|}{q}{|}<1 .

Рассмотрим примеры задач.

1. Дана последовательность c_n=5(-2)^n. Докажите, что эта последовательность является геометрической прогрессией.

Докажем, что для любого номера n отношение {c_n}/{c_{n-1}}=const

 c_{n-1}=5(-2)^{n}

{c_n}/{c_{n-1}}={5(-2)^{n}} /{5(-2)^{n-1}}=-2 -  мы видим, что отношение {c_n}/{c_{n-1}} не зависит от номера n и равно числу -2, следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией.

 

2. Дана геометрическая прогрессия b_n=2(-3)^n

1. Найдите пятый член прогрессии.

2. Найдите сумму первых восьми членов прогрессии.

1. b_5=2(-3)^{5}=-486

2. S_5={b_1(q^5-1)}/{q-1}

Найдем b_1 и q.

b_1=2(-3)^1=-6

b_2=2(-3)^2=18

q={b_2}/{b_1}={18}/{-6} =-3

S_5={(-6)((-3)^5-1)}/{(-3)-1}={(-6)(-243-1)}/{-4}=-3*122=-366

Ответ: 1. -162; 2. -366

 

3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии 8;~2;~1/2;...

Сумму бесконечной геометрической прогрессии найдем по формуле S={b_1}/{1-q}. (В задаче в явном виде указано, что мы имеем дело с бесконечной геометрической прогрессией.)

b_1=8; q=2/8=1/4

S=8/{1-{1/4}}=8*4/3={32}/3=10{2/3}

Ответ: 10{2/3}

 

4. Дана геометрическая прогрессия (c_n) с положительными членами, в которой c_4=24;~c_6=96.

а) Найдите c_1.

б) Определите количество членов прогрессии, начиная с первого, сумма которых равна 45.

а) Запишем условие задачи, выразив его через c_1 и q. Получим систему уравнений:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{c_1*q^3=24} {c_1*q^5=96} }}{ } 

Разделим второе уравнение на первое, получим

q^2=4; q_1=2;~q_2=-2.

По условию наша прогрессия с положительными членами, поэтому q>0 .

Найдем c_1. Для этого подставим q=2 в первое уравнение системы.

c_1*2^3=24;~c_1=3

б) По условию S_n=45

 

S_n={c_1(q^n-1)}/{q-1}={3(2^n-1)}=45

2^n-1=15

2^n=16

n=4

Ответ: а) 3; б) 4.

 

5. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии (b_n) в три раза больше ее первого члена. Найдите отношение {b_2}/{b_4}.

Выразим условие задачи через b_1 и q

S={b_1}/{1-q}

Т.к. по условию S=3b_1, получим

{b_1}/{1-q}=3b_1. Отсюда 1/{1-q}=3

1-q=1/3;~~q=2/3

Нам нужно найти {b_2}/{b_4}={b_1*q}/{b_1*q^3}=1/{q^2}.

 1/{q^2} 1/{(2/3)^2}=9/4=2,25

Ответ: 2,25

 И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

 

ege-ok.ru

Определение геометрической прогрессии: формула n-го члена прогрессии

 

Геометрическая прогрессия - это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый следующий член равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число. Геометрическая прогрессия обозначается b1,b2,b3, …, bn, …

Свойства геометрической прогрессии

Отношение любого члена геометрической погрешности к её предыдущему члену равно одному и тому же числу, то есть b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+1)/bn = … . Это следует непосредственно из определения арифметической прогрессии. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии. Обычно знаменатель геометрической прогрессии обозначают буквой q.

Одним из способов задания геометрической прогрессии является задание её первого члена b1 и знаменателя геометрической погрешности q. Например, b1=4, q=-2. Эти два условия задают геометрическую прогрессию 4, -8, 16, -32, … .

Если q>0 (q не равно 1), то прогрессия является монотонной последовательностью. Например, последовательность, 2, 4,8,16,32, … является монотонно возрастающей последовательностью (b1=2, q=2).

Если в геометрической погрешности знаменатель q=1, то все члены геометрической прогрессии будут равны между собой. В таких случаях говорят, что прогрессия является постоянной последовательностью.

Формула n-го члена прогрессии

Для того, чтобы числовая последовательность (bn) являлась геометрической прогрессией необходимо, чтобы каждый её член, начиная со второго, являлся средним геометрическим соседних членов. То есть необходимо выполнение следующего уравнения - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), для любого n>0, где n принадлежит множеству натуральных чисел N.

Формула n-ого члена геометрической прогрессии имеет вид:

bn=b1*q^(n-1), где n принадлежит множеству натуральных чисел N.

Рассмотрим простой пример:

В геометрической прогрессии b1=6, q=3, n=8 найти bn.

Воспользуемся формулой n-ого члена геометрической прогрессии:

b8 = 6*3^7 = 13122.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Электронный учебник по геометрии: все темы школьной программы Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspФормула суммы n первых членов геометрической прогрессии + примеры

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru

Внеклассный урок - Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

 

Геометрическая прогрессия – это такая последовательность отличных от нуля чисел, которая получается в результате умножения каждого последующего члена на одно и то же число, не равное нулю.

Пример геометрической прогрессии: 2, 6, 18, 54, 162.

Здесь каждый член после первого в 3 раза больше предыдущего. То есть каждый последующий член является результатом умножения предыдущего члена на 3:

2 · 3 = 6

6 · 3 = 18

18 · 3 = 54

54 · 3 = 162.

 

Знаменатель геометрической прогрессии.

Знаменатель геометрической прогрессии – это число, равное отношению второго и любого последующего члена к предыдущему члену прогрессии. Ее обычно обозначают буквой q.

В нашем примере при делении второго члена на первый, третьего на второй и т.д. мы получаем 3. Число 3 и является знаменателем данной геометрической прогрессии.

 

Свойства геометрической прогрессии:

1) Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух соседних членов, стоящих перед ним и после него:

bn2 = bn-1 · bn+1

 

2) Верно и обратное утверждение: если в последовательности чисел квадрат любого ее члена, начиная со второго, равен произведению двух соседних членов, стоящих перед ним и после него, то эта последовательность является геометрической прогрессией:

Пример:Вернемся к нашей геометрической прогрессии 2, 6, 18, 54, 162. Возьмем четвертый член и возведем его в квадрат:

542 = 2916.

Теперь перемножим члены, стоящие слева и справа от числа 54:

18 · 162 = 2916.

Как видим, квадрат третьего члена равен произведению соседних второго и четвертого членов.

 

Как найти определенный член геометрической прогрессии.

Чтобы найти n-й член геометрической прогрессии, следует применить формулу:

bn = b1· qn – 1

Пример 1: Возьмем некую геометрическую прогрессию, в которой первый член равен 2, а знаменатель геометрической прогрессии равен 1,5. Надо найти 4-й член этой прогрессии.

Дано:b1 = 2q = 1,5n = 4————b4 - ?

Решение.Применяем формулу bn = b1 · qn – 1, вставляя в нее соответствующие значения:

b4 = 2 · 1,54 – 1 = 2 · 1,53 = 2 · 3,375 = 6,75.

Ответ: Четвертый член заданной геометрической прогрессии – число 6,75.

 

Пример 2: Найдем пятый член геометрической прогрессии, если первый и третий члены равны соответственно 12 и 192.

Дано:b1 = 12b3 = 192————b5 - ?

Решение.

1) Сначала нам надо найти знаменатель геометрической прогрессии, без которой решить задачу невозможно. В качестве первого шага с помощью нашей формулы выводим формулу для b3:

b3 = b1 · q3 – 1 = b1 · q2

Теперь мы можем найти знаменатель геометрической прогрессии:

           b3       192q2 = —— = —— = 16           b1        12

q = √16 = 4 или –4.

2) Осталось найти значение b5.

Если q = 4, то

b5 = b1q5-1 = 12 · 44 = 12 · 256 = 3072.

При q = –4 результат будет тот же. Таким образом, задача имеет одно решение.

Ответ: Пятый член заданной геометрической прогрессии – это число 3072.

 

Как найти сумму первых n членов геометрической прогрессии.

При q ≠ 1 сумму любого количества первых членов геометрической прогрессии можно найти с помощью одной из следующих формул:

                                                                           bnq – b1                                                                  Sn = ————                                                                              q – 1

                                                                            b1 (qn – 1)                                                                   Sn = —————                                                                                q – 1

Если q = 1, то все члены прогрессии просто равны первому члену:

                                                                              Sn = nb1

 

Пример: Найдем сумму первых пяти членов геометрической прогрессии (bn), в которой первый член равен 2, а знаменатель геометрической прогрессии 3.

Дано:

b1 = 2

q = 3

n = 5————S5 – ?

Решение.

Применяем вторую формулу из двух приведенных выше:

          b1 (q5 – 1)        2 (35 – 1)             2 · (243 – 1)                  484S5 = ————— = ————— = ———————— = ————— = 242              q – 1                3 – 1                        2                              2

Ответ: Сумма первых пяти членов заданной геометрической прогрессии равна 242.

 

Сумма бесконечной геометрической прогрессии.

Следует различать понятия «сумма бесконечной геометрической прогрессии» и «сумма n членов геометрической прогрессии». Второе понятие относится к любой геометрической прогрессии, а первое – только к такой, где знаменатель меньше 1 по модулю.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии – это предельное число, к которому сходится последовательность прогрессии.

Говоря иначе, какой бы длинной не была геометрическая прогрессия, сумма ее членов не больше какого-то определенного числа и практически равна этому числу. Оно и называется суммой геометрической прогрессии.

Не любая геометрическая прогрессия имеет такую предельную сумму. Она может быть только у такой прогрессии, знаменатель которой – дробное число меньше 1.

 

Пример-пояснение:

Составим геометрическую прогрессию, в которой первый член – число 2, а знаметатель равен 1/2:

2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 и т.д.

Сложим все полученные члены прогрессии:

2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 = 255/64 ≈ 3,98 ≈ 4.

Можно продолжить прогрессию до 10, 100, миллиона членов, но во всех случаях сумма членов прогрессии будет практически равна 4. Число 4 и является суммой данной геометрической прогрессии.

Чтобы найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, не надо складывать все ее члены. Для этого существует замечательная и довольно простая формула.

 

Сумма S геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

                                                                                   b1                                                                       S = ————                                                                                 1 – q

b1 – первый член геометрической прогрессии; q – знаменатель прогрессии; |q| < 1.

 

Решим наш пример с помощью этой формулы.

В нем b1 = 2, q = 1/2. Итак:

               2                    2S  =  ————  =  ———— = 4.          1 – 1/2               1/2

Пример решен.

raal100.narod.ru

Геометрическая прогрессия | Онлайн калькулятор

Геометрическая прогрессия - это числовая последовательность, в которой все ее члены расположены в порядке, подчиняющемся определенной закономерности. Формула геометрической прогрессии определяет, что каждое следующее число будет получено умножением предыдущего на знаменатель прогрессии - постоянное число, не меняющее свое значение в пределах одной последовательности. bn=b1 q(n-1)

В зависимости от знаменателя прогрессии, выписанные члены геометрической прогрессии могут давать различный вид ряда. Если знаменатель является числом положительным, больше 1 (k > 1), тогда он будет увеличивать значение каждого следующего числа. Такая прогрессия будет монотонно возрастать на протяжении всего ряда. Если знаменатель - положительный, но находится между 0 и 1 (0 , тогда он будет каждый раз уменьшать значение следующего члена, и такая прогрессия будет называться бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Если для все возрастающей последовательности, можно только найти сумму первых членов геометрической прогрессии, то сумма членов бесконечно убывающей прогрессии будет равна вполне конкретному числовому значению, которое может рассчитать калькулятор. Третий случай представлен отрицательным знаменателем (k , тогда прогрессия становится знакочередующейся, то есть первые члены геометрической прогрессии определяют порядок знаков для всей последовательности чисел. Как знаменатель геометрической прогрессии, так и первый член геометрической прогрессии по определению не могут быть равны нулю.

Существует всего несколько формул геометрической прогрессии, из которых можно вывести все необходимые для решения конкретных задач:

• Формула первого члена геометрической прогрессии;

• Формула n члена геометрической прогрессии;

• Формула суммы первых членов геометрической прогрессии;

• Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии;

• Формула знаменателя геометрической прогрессии.

Таким образом, если условиями задана геометрическая прогрессия с хотя бы двумя параметрами из всех выше представленных, для нее можно будет найти любую из всех прочих переменных.

allcalc.ru