Полный дифференциал функции. Полный дифференциал это


Полный дифференциал - это... Что такое Полный дифференциал?

 Полный дифференциал

Дифференциа́л в математике — линейная часть приращения функции или отображения. Это понятие тесно связанное с понятием производной по направлению.

Обычно дифференциал f обозначается df, а его значение в точке x обозначается dxf.

Неформальное описание

Рассмотрим гладкую функцию f(x). Проведем касательную к ней в точке x, и отложим на этой касательной отрезок, такой длины, чтобы его проекция на ось x была равна Δx. Проекция этого отрезка на ось y называется дифференциалом функции f(x) в точке x от Δx. Таким образом, дифференциал может пониматься как функция двух переменных x и Δx,

определяемой соотношением

в частности, разность приращения функции и её дифференциала — бесконечно малая величина:

f(x + Δx) = f(x) + dxf(Δx) + o(Δx).

Определения

Для функций

Дифференциал гладкой вещественнозначной функции f определённой на M (M — область в или гладкое многообразие) представляет собой 1-форму и обычно обозначается df и определяется соотношением

где обозначает производную f по направлению вектора X в касательном расслоении M.

Для отображений

Дифференциал гладкого отображения из гладкого многообразия в многообразие есть отображение между их касательными расслоениями, , такое что для любой гладкой функции имеем

где Xf обозначает производную f по направлению X. (В левой части равенства берётся производная в N функции g по dF(X) в правой — в M функции по X).

Это понятие естественно обобщает дифференциал функции.

Связанные определения

Свойства

  • Дифференциал композиции равен композиции дифференциалов: или

Примеры

История

Термин Дифференциал (от лат. differentia — разность, различие) введён Лейбницем. Изначально, dx применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики (за исключением нестандартного анализа).

См. также

Wikimedia Foundation. 2010.

  • Полный Пэ (студия)
  • Полный дуплекс

Смотреть что такое "Полный дифференциал" в других словарях:

  • полный дифференциал — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN ordinary differentialtotal differential …   Справочник технического переводчика

  • ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ — функции п переменных в точке то же самое, что дифференциал функции в этой точке. Термин П. д. употребляется с целью противопоставления его термину частный дифференциал . Понятие П. д. функции n переменных обобщается на случай отображения открытых …   Математическая энциклопедия

  • Полный дифференциал —         функции f (x, у, z,...) нескольких независимых переменных выражение                  в случае, когда оно отличается от полного приращения (См. Полное приращение)          Δf = f (x + Δx, y + Δy, z + Δz,…) f (x, y, z, …)         на… …   Большая советская энциклопедия

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛ — (лат., от differe различать). Предел бесконечно малой разности между функцией переменного, получившего бесконечно малое приращение, и первоначальной функцией того же переменного (мат. терм.). Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • Дифференциал (механика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Дифференциал (значения). Устройство дифференциала (центральная часть) Дифференциал это механическое устройство, котор …   Википедия

  • Дифференциал (автомобиль) — Устройство дифференциала(центральная часть) Дифференциал это механическое устройство, которое передает вращение с одного источника на два независимых потребителя таким образом, что угловые скорости вращения источника и обоих потребителей могут… …   Википедия

  • Полный привод — У этого термина существуют и другие значения, см. Полный привод (значения). Наиболее распространённая (но не единственная) схема трансмиссии полноприводного автомобиля. Полный привод (4x4, 4WD …   Википедия

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛ — главная линейная часть приращения функции. 1) Действительная функция y = f{x )действительного переменного наз. дифференцируемой в точке х, если она определена в нек рой окрестности этой точки и если существует такое число А, что приращение (при… …   Математическая энциклопедия

  • Постоянный полный привод — Наиболее распространённая (но не единственная) схема трансмиссии полноприводного автомобиля. Полный привод (4x4, 4WD, AWD)  конструкция трансмиссии автомобиля, когда крутящий момент, создаваемый двигателем, передаётся на все колеса. До… …   Википедия

  • Теплота — 1) Т. мы называем причину, вызывающую в нас специфические, всем известные тепловые ощущения. Источником этих ощущений являются всегда какие либо тела внешнего мира, и, объективируя наши впечатления, мы приписываем этим телам содержание некоторого …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

dic.academic.ru

Полный дифференциал функции нескольких переменных

Если функция дифференцируема в точке, то, как было показано выше, ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

.

Сумма первых двух слагаемых есть главная линейная (относительно и) часть приращения функции.

Определение.Если функциядифференцируема в точке, то главная, линейная относительно приращения аргументов, часть ее полного приращения называется полным дифференциалом функции и обозначается

.

Приращения независимых переменных иназывают дифференциалами независимых переменныхии обозначают соответственнои. Тогда полный дифференциал функции можно записать в виде:

или в более краткой форме: .

Пример.Найти полный дифференциал функции.

Решение.для.

Пример.Найти полный дифференциал функции.

Решение.Найдем частные производные функции:

,

.

Следовательно,

для .

Определение полного дифференциала легко обобщается на случай функции любого числа переменных. Например, полным дифференциалом функции трех переменных в точкеназывается главная, линейная относительно приращений всех аргументов, часть полного приращения функции, т. е.

.

Из определения дифференциала функции нескольких переменных следует, что для функции можно полагать, а для функции, зависящей от трех переменных, для,.

Эти соотношения позволяют получить формулы для приближенного вычисления значений функции:

,

.

И в общем случае,

.

Полный дифференциал чаще используется для оценки погрешности вычислений по формулам.

Например, если задана дифференцируемая функция переменных. Тогда абсолютная погрешностьвычислений по этой формуле оценивается величиной

,

а относительная погрешность ― величиной .

Дифференцирование сложной функции

Пусть — функция двух переменных, каждая из которых, в свою очередь, является функцией независимых переменныхи:,. Тогда— сложная функция двух независимых переменныхи, а переменныеи— промежуточные аргументы.

Теорема.Если функциядифференцируема в точке, а функцииидифференцируемы в точкеD, то сложная функция, где;, дифференцируема в точкеD, причем ее частные производные вычисляются по формулам:

,.

Доказательство.Докажем первую из формул. В точкепеременнойдадим приращение, сохранивпостоянной. Тогда функциииполучат частные приращения,, а функция— полное приращение(так каки— приращения по обоим промежуточным аргументам). Функциядифференцируема в точке, поэтому ее приращение в этой точке представимо в виде

.

Разделим данное равенство на :

(1)

Если , тоив силу непрерывности функцийи,

,.

Переходя к пределу в равенстве (1) с учетом того, что

,имеем

.

Аналогично

.

Теорема доказана.

Рассмотрим функцию трех переменных , каждая из которых, в свою очередь, является функцией независимых переменных,,:,,. Тогда функцияявляется сложной функцией трех независимых переменных,,, а переменные,,называются промежуточными. Частные производные этой функции вычисляются по формулам:

,

,

.

Пример. Вычислить частные производные сложной функции двух переменных, где;.

Решение.Найдем частные производные

,,,,,. Следовательно,

.

Найдем теперь полный дифференциал сложной функции в точке. Подставим выраженияив формулу полного дифференциала сложной функции двух переменных

. (2)

Получим

или

Так как ,, то

. (3)

Сравнивая формулы (2) и (3), замечаем, что форма записи полного дифференциала функции двух переменных не зависит от того, являются ли инезависимыми переменными, или функциями других независимых переменных. В этом и заключается инвариантность формы первого дифференциала функции нескольких переменных. (Напомним, что первый дифференциал функции одной переменной также обладает этим свойством.)

studfiles.net

Полный дифференциал

Определение.Дифференциальная форманазываетсяполным дифференциалом, если существует функция, т. ч.=. Тогда функцияназываетсяпотенциальной функцией(потенциалом).

Теорема (критерий полного дифференциала). Пусть функциииопределены в связном открытом множестве,,,,.

Тогда дифференциальная форма является полным дифференциалом всюду вХвсюду вХ.

Доказательство. ():Т.к.является полным дифференциалом, то существует функция, т. ч.=. Но=. Тогда,. По условию теоремы функциииимеют частные производные поуих, соответственно. Значит,,. Из их непрерывности, по имеющемуся выше замечанию, следует их равенство, т.е.всюду вХ.

():Пустьвсюду вХ. Построим функцию, для которой выполнено равенство=, или равносильная пара тождеств,. Проинтегрируем первое из этих тождеств пох(считаяупостоянной), что возможно благодаря непрерывностив связном открытом множествеХ. По теореме о производной интеграла с переменным верхним пределом в качестве первообразной дляможно взять, где– любая фиксированная точка вХ, а по теореме об общем виде первообразной=+. Учитывая, что должно еще выполняться, получаем новое требование+=, откуда=–

–=–=–=–

–=. Тогда=+С.

Подставляя найденное выражение для в выражение для, получаем=++С. Существование такой, что=доказывает, что дифференциальная формаесть полный дифференциал.

Локальный экстремум

Определение.ТочкаМ0называетсяточкой локального максимумафункцииf(M), т.е.f(M0)=max f(M), еслиf(M) f(M0).

Определение.ТочкаМ0называетсяточкой локального минимумафункцииf(M), т.е.f(M0)=min f(M), еслиf(M) f(M0).

Определение.ТочкаМ0называетсяточкой локального экстремумафункцииf(M), если она является точкой локального максимума или минимума.

Теорема (необходимое условие экстремума). Пусть функцияf(M) определена в некоторой окрестности точкиМ0и. Если функцияf(M) имеет в точкеМ0локальный экстремум, то.

Доказательство(дляi=1, остальные аналогично).= ==(поскольку мы фактически имеем дело с функцией одной переменной, то имеет место теорема о необходимом условии экстремума функции одной переменной)=0.

Замечание.Это условие не является достаточным.

Определение.ТочкаМ0называетсястационарной точкойфункцииf(M), если.

Определение.ТочкаМ0называетсякритической точкойфункцииf(M), если она стационарная или не всесуществуют.

Следствие.Пустьf(M), гдеМ0– точка локального экстремума функцииf(M). Тогда(т.е. независимо от).

Доказательство. ===.

Следствие.Пустьf(M), гдеМ0– точка локального экстремума функцииf(M). Тогда.

Доказательство.=(0,…,0)=.

Определение.ТочкаМ0называетсяминимаксом(седловой точкой), если она является стационарной точкой, но не является точкой экстремума.

Теорема (достаточное условие экстремума). Пустьf(M), гдеМ0– стационарная точка функцииf(M). Тогда

(Без доказательства).

Определение.Рассмотрим матрицу. Миноры

,, … ,называютсяглавными минорамиэтой матрицы.

Теорема (Критерий Сильвестра). Обозначим. Тогда, приf(M),=(). Для того чтобы при любыхвыполнялось неравенство(соответственно,), необходимо и достаточно, чтобыглавные миноры матрицы, составленной из, удовлетворяли неравенствам(соответственно,).

(Без доказательства).

Следствие.Пустьf(х,у), гдеМ0(х0,у0) – стационарная точка функцииf(M). Тогда

studfiles.net

Полный дифференциал - это... Что такое Полный дифференциал?

 Полный дифференциал

        функции f (x, у, z,...) нескольких независимых переменных — выражение

        

         Δf = f (x + Δx, y + Δy, z + Δz,…) - f (x, y, z, …)

        на величину, бесконечно малую по сравнению с

        

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

  • Полночь
  • Поло Марко

Смотреть что такое "Полный дифференциал" в других словарях:

  • полный дифференциал — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN ordinary differentialtotal differential …   Справочник технического переводчика

  • Полный дифференциал — Дифференциал в математике  линейная часть приращения функции или отображения. Это понятие тесно связанное с понятием производной по направлению. Обычно дифференциал f обозначается df, а его значение в точке x обозначается dxf. Содержание 1… …   Википедия

  • ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ — функции п переменных в точке то же самое, что дифференциал функции в этой точке. Термин П. д. употребляется с целью противопоставления его термину частный дифференциал . Понятие П. д. функции n переменных обобщается на случай отображения открытых …   Математическая энциклопедия

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛ — (лат., от differe различать). Предел бесконечно малой разности между функцией переменного, получившего бесконечно малое приращение, и первоначальной функцией того же переменного (мат. терм.). Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • Дифференциал (механика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Дифференциал (значения). Устройство дифференциала (центральная часть) Дифференциал это механическое устройство, котор …   Википедия

  • Дифференциал (автомобиль) — Устройство дифференциала(центральная часть) Дифференциал это механическое устройство, которое передает вращение с одного источника на два независимых потребителя таким образом, что угловые скорости вращения источника и обоих потребителей могут… …   Википедия

  • Полный привод — У этого термина существуют и другие значения, см. Полный привод (значения). Наиболее распространённая (но не единственная) схема трансмиссии полноприводного автомобиля. Полный привод (4x4, 4WD …   Википедия

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛ — главная линейная часть приращения функции. 1) Действительная функция y = f{x )действительного переменного наз. дифференцируемой в точке х, если она определена в нек рой окрестности этой точки и если существует такое число А, что приращение (при… …   Математическая энциклопедия

  • Постоянный полный привод — Наиболее распространённая (но не единственная) схема трансмиссии полноприводного автомобиля. Полный привод (4x4, 4WD, AWD)  конструкция трансмиссии автомобиля, когда крутящий момент, создаваемый двигателем, передаётся на все колеса. До… …   Википедия

  • Теплота — 1) Т. мы называем причину, вызывающую в нас специфические, всем известные тепловые ощущения. Источником этих ощущений являются всегда какие либо тела внешнего мира, и, объективируя наши впечатления, мы приписываем этим телам содержание некоторого …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

dic.academic.ru

Полный дифференциал функции.

 

Определение: Полным дифференциалом функции нескольких переменных называется сумма всех ее частных дифференциалов:

.

Пример 1: Найти полный дифференциал функции .

Решение:

Поскольку частные производные этой функции равны:

То сразу можно записать частные дифференциалы этих функций:

, ,

 

Тогда полный дифференциал функции будет иметь вид:

.

Пример 2Найти полный дифференциал функции

Решение:

Эта функция является сложной, т.е. можно представить как

, где

Находим частные производные:

 

Полный дифференциал:

 

Аналитический смысл полного дифференциала состоит в том, что полный дифференциал функции нескольких переменных представляет собой главную часть полного приращения этой функции, то есть имеет место приближенное равенство: ∆z≈dz.

Необходимо, однако помнить, что эти приближенные равенства справедливы лишь при малых дифференциалах dx и dy аргументов функции z=f(x,y).

 

Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях основано на использовании формулы ∆z≈dz.

Действительно, если в данной формуле приращение ∆z функции представить в виде , а полный дифференциал в виде , то получим:

,

откуда .

Полученную формулу можно использовать для приближенного нахождения «нового» значения функции двух переменных, которое она принимает при достаточно малых приращениях обоих ее аргументов.

 

Пример. Найти приближенное значение функции , при следующих значениях ее аргументов: 1,01, .

Решение.

Подставив частные производные функции, найденные ранее в формулу, получим:

.

 

При подстановке значений х=1, ∆х=0,01, у=2, ∆у=0,02 получим:

 

 

Скалярное поле.

 

Если в каждой точке некоторой области пространства D задана функция U(p)=U(x,y,z), то говорят, что в области D задано скалярное поле.

Если, например, U(x,y,z) обозначает температуру в точке М(х,у,z), то говорят, что задано скалярное поле температур. Если область D заполнена жидкостью или газом и U(x,y,z) обозначает давление, то имеется скалярное поле давлений. Если в пространстве задано расположение зарядов или массивных тел, то говорят о поле потенциала.

Скалярное поле называется стационарным,если функция U(x,y,z) не меняется со временем: U(х,у,z) ≠ f(t).

 

Любое стационарное поле характеризуется:

1) поверхностью уровня скалярного поля

2) скоростью изменения поля в заданном направлении.

Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое место точек, в которых функция U(x,y,z) принимает постоянное значение, то есть U(x,y,z) = const. Совокупность этих точек образует некоторую поверхность. Если возьмем другую константу, то получим другую поверхность.

Пример: Пусть задано скалярное поле . Примером такого поля является поле электрического потенциала точечного электрического заряда (+q). Здесь поверхностями уровня будут эквипотенциальные поверхности , то есть сферы, в центре которых находится заряд, создающий поле.

 

Направление наибольшего возрастания скалярной функции задается вектором, который называется градиентом и обозначается символом (или ).

Градиент функции находится через частные производные этой функции и всегда перпендикулярен поверхности уровня скалярного поля в данной точке:

, где

- единичные векторы соответственно по осям OX, OY, OZ

Производная от функции U(x,y,z) по любому другому направлению (λ) определяется по формуле:

, где

α, β, γ – это углы между осями координат соответственно OX, OY, OZ и направлением .

Производную функции по направлению можно найти и через другую формулу:

, где единичный вектор по направлению .

Таким образом, производная функции по данному направлению равна скалярному произведению градиента функции на единичный вектор этого направления. В этом случае, производная по направлению вектора, касательного к поверхности уровня, равна нулю, а градиент в каждой точке перпендикулярен касательной плоскости к поверхности уровня, проходящего через данную точку.

Пример на нахождение градиента функции в данной точке.

Пусть дана функция .

Определим градиент в точке М(1,1,1).

Выражение градиента этой функции в произвольной точке будет:

.

Следовательно, , .



infopedia.su

ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ - это... Что такое ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ?

 ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ

функции п переменных в точке - то же самое, что дифференциал функции в этой точке. Термин "П. д." употребляется с целью противопоставления его термину "частный дифференциал". Понятие П. д. функции n переменных обобщается на случай отображения открытых множеств линейных топологич. пространств в подобные же пространства (см. Гато дифференциал, Фреше дифференциал, Дифференцирование отображения).

Л. Д. Кудрявцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.

  • ПОЛНОТА
  • ПОЛНЫЙ ИНТЕГРАЛ

Смотреть что такое "ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ" в других словарях:

  • полный дифференциал — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN ordinary differentialtotal differential …   Справочник технического переводчика

  • Полный дифференциал — Дифференциал в математике  линейная часть приращения функции или отображения. Это понятие тесно связанное с понятием производной по направлению. Обычно дифференциал f обозначается df, а его значение в точке x обозначается dxf. Содержание 1… …   Википедия

  • Полный дифференциал —         функции f (x, у, z,...) нескольких независимых переменных выражение                  в случае, когда оно отличается от полного приращения (См. Полное приращение)          Δf = f (x + Δx, y + Δy, z + Δz,…) f (x, y, z, …)         на… …   Большая советская энциклопедия

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛ — (лат., от differe различать). Предел бесконечно малой разности между функцией переменного, получившего бесконечно малое приращение, и первоначальной функцией того же переменного (мат. терм.). Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • Дифференциал (механика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Дифференциал (значения). Устройство дифференциала (центральная часть) Дифференциал это механическое устройство, котор …   Википедия

  • Дифференциал (автомобиль) — Устройство дифференциала(центральная часть) Дифференциал это механическое устройство, которое передает вращение с одного источника на два независимых потребителя таким образом, что угловые скорости вращения источника и обоих потребителей могут… …   Википедия

  • Полный привод — У этого термина существуют и другие значения, см. Полный привод (значения). Наиболее распространённая (но не единственная) схема трансмиссии полноприводного автомобиля. Полный привод (4x4, 4WD …   Википедия

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛ — главная линейная часть приращения функции. 1) Действительная функция y = f{x )действительного переменного наз. дифференцируемой в точке х, если она определена в нек рой окрестности этой точки и если существует такое число А, что приращение (при… …   Математическая энциклопедия

  • Постоянный полный привод — Наиболее распространённая (но не единственная) схема трансмиссии полноприводного автомобиля. Полный привод (4x4, 4WD, AWD)  конструкция трансмиссии автомобиля, когда крутящий момент, создаваемый двигателем, передаётся на все колеса. До… …   Википедия

  • Теплота — 1) Т. мы называем причину, вызывающую в нас специфические, всем известные тепловые ощущения. Источником этих ощущений являются всегда какие либо тела внешнего мира, и, объективируя наши впечатления, мы приписываем этим телам содержание некоторого …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

dic.academic.ru

ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Пусть дана функция n-переменных:

Z = f (x, y, …, t)

В этом случае вводится понятие частной производной:

Частной производной функции Z=f (x, y) по аргументу х называется предел отношения приращения функции, когда изменяется х, к приращению аргумента х, когда приращение аргумента стремится к нулю ( х → 0)

Соответственно частная производная по y обозначается .

Если частную производную от функции Z = f(x, y) по х умножить на ее дифференциал dx, то получим частный дифференциал по аргументу х:

Частный дифференциал по у будет равен:

Сумма частных дифференциалов определяет полный дифференциал функции

Полный дифференциал для функции двух переменных Z = f(x, y) равен:

10. ПРИМЕНЕНИЕ ПОНЯТИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ В ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ

При достаточно малых |Dx| выполняется условие: Dy » dy.

Учитывая, что Dy = f(x0+Dx)-f(x0),

dy =f¢(x0)Dx, получаем

f(x0+Dx)-f(x0) » f¢(x0)Dx, откуда

f(x0+Dx) » f(x0)+f¢(x0) Dx (*)

Например: Вычислить приближённо .

Решение: , тогда x0 =25, Dx=2. Применяя формулу (*), получаем:

 

Похожие статьи:

poznayka.org