Как найти аргумент комплексного числа. Нахождение аргумента комплексного числа


Как найти аргумент комплексного числа

Комплексным числом называют число вида z =x + i * y, где x и y – действительные числа , а i = мнимая единица (т.е. число, квадрат которого равен -1). Дабы определить представление аргумента комплексного числа , нужно разглядеть комплексное число на комплексной плоскости в полярной системе координат.

Инструкция

1. Плоскость, на которой представляют комплексные числа , именуется комплексной. На этой плоскости горизонтальную ось занимают вещественные числа (x), а вертикальную ось – мнимые числа (y). На такой плоскости число задается двумя координатами z = {x, y}. В полярной системе координат координатами точки являются модуль и довод. Модулем называют расстояние |z| от точки до начала координат. Доводом называют угол ? между вектором, соединяющим точку и предисловие координат и горизонтальной осью системы координат (см. рисунок).

2. Из рисунка видно, что модуль комплексного числа z = x + i * y находится по теореме Пифагора: |z| = ? (x^2 + y^2). Дальше довод числа z находится как острый угол треугольника – через значения тригонометрических функций sin, cos, tg:sin ? = y / ? (x^2 + y^2),cos ? = x / ? (x^2 + y^2),tg ? = y / x.

3. Скажем, пускай дано число z = 5 * (1 + ?3 * i). Первым делом выделите вещественную и мнимую части: z = 5 +5 * ?3 * i. Получается, что вещественная часть x = 5, а мнимая часть y = 5 * ?3. Вычислите модуль числа : |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. Дальше обнаружьте синус угла ?: sin ? = 5 / 10 = 1 / 2. Отсель получается довод числа z равен 30°.

4. Пример 2. Пускай дано число z = 5 * i. По рисунку видно, что угол ? = 90°. Проверьте это значение по формуле, приведенной выше. Запишите координаты данного числа на комплексной плоскости: z = {0, 5}. Модуль числа |z| = 5. Тангенс угла tg ? = 5 / 5 = 1. Отсель следует, что ? = 90°.

5. Пример 3. Пускай нужно обнаружить довод суммы 2-х комплексных чисел z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i. По правилам сложения складываете эти два комплексных числа : z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Дальше по приведенной выше схеме рассчитываете довод: tg ? = 9 / 3 = 3.

Обратите внимание! Если число z = 0, то значение довода для него не определено.

Полезный совет Значение довода комплексного числа определяется с точностью до 2 * ? * k, где k – всякое целое число. Значение довода ? такое, что –?

jprosto.ru

Комплексные числа, примеры с решением

Примеры с решением комплексных чисел даны в конце статьи, а пока разберемся с тем, что же такое комплексные числа.

В математике кроме натуральных, рациональных и вещественных чисел имеется ещё один вид, называемый комплексными числами. Такое множество принято обозначать символом .

Рассмотрим, что из себя представляет комплексное число. Запишем его таким образом: , в котором мнимая единица , числа вещественные. 

Если положить , то комплексное число превращается в вещественное. Таким образом, можно сделать вывод, что действительные числа это частный случай комплексных и записать это в виде подмножества . К слову говоря также возможно, что .

Принято записывать мнимую часть комплексного числа как , а действительную .

Введем понятие комплексно-сопряженных чисел. К каждому комплексному числу существует такое, что , которое и называется сопряженным. Такие числа отличаются друг от друга только знаками между действительной и мнимой частью.

Формы

Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:

  1. Алгебраическая
  2. Показательная
  3. Тригонометрическая

Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.

Изображение

Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:

комплексные числаВидим, что расположены на соответствующих осях плоскости. 

Комплексное число представляется в виде вектора .

Аргумент обозначается .

Модуль равняется длине вектора   и находится по формуле

Аргумент комплексного числа нужно находить по различным формулам в зависимости от полуплоскости, в которой лежит само число.

Если:

  1. , то
  2. , то 
  3. , то 

Операции

Над комплексными числами можно проводить различные операции, а именно:

  • Складывать и вычитать
  • Умножать и делить
  • Извлекать корни и возводить в степень
  • Переводить из одной формы в другую 

Для нахождения суммы и разности складывается и вычитаются только соответствующие друг другу члены. Мнимая часть только с мнимой, а действительная только с действительной:

Умножение в алгебраической форме:

Умножение в показательной форме:

Деление в алгебраической форме:

Деление в показательной форме:

Для возведения в степень необходимо умножить комплексное число само на себя необходимое количество раз, либо воспользоваться формулой Муавра:

Для извлечения корней необходимо также воспользоваться формулой Муавра:

Так же теория комплексных чисел помогает находить корни многочленов. Например, в квадратном уравнении, если , то вещественных корней нет, но есть комплексные. В последнем примере рассмотрен данный случай.

Рассмотрим на практике комплексные числа: примеры с решением.

Примеры с решением

Пример 1
Перевести из алгебраической в тригонометрическую и показательную форму:
Решение

Для начала приступим к нахождению модуля комплексного числа:

Осталось найти аргумент:

Теперь составляем тригонометрическую запись комплексного числа, указанного в условии примера:

Тут же можно записать показательную форму:

Ответ
Пример 2

Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел:

Решение

Сначала выполним сложение. Для этого просуммируем соответствующие мнимые и вещественные части комплексных чисел:

Аналогично выполним вычитание чисел:

Ответ
Пример 3

Выполнить умножение и деление комплексных чисел:

Решение

Просто на просто раскроем скобки и произведем приведение подобных слагаемых, так же учтем, что :

Так, теперь разделим первое число на второе:

Суть деления в том, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю и затем раскрываем все скобки:

Разделим числитель на 29, чтобы записать дробь в виде алгебраической формы:

Ответ
Пример 4
Возвести комплексное число в степень: a) б)
Решение

1)

Для возведения в квадрат достаточно умножить число само на себя:

Пользуемся формулой для умножения, раскрываем скобки и приводим подобные:

Получили ответ, что

2)

В этом случае не всё так просто как в предыдущем случае, когда было возведение в квадрат. Конечно, можно прибегнуть к способу озвученному ранее и умножить число само на себя 7 раз, но это будет очень долгое и длинное решение. Гораздо проще будет воспользоваться формулой Муавра. Но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую.

Вычисляем значение модуля:

Найдем чем равен аргумент:

Записываем в тригонометрическом виде:

Возводим в степень :

Преобразуем в алгебраическую форму для наглядности:

Ответ

 

Пример 5
Извлечь корень над множеством
Решение

Представим число в тригонометрической форме. Найдем модуль и аргумент:

Получаем:

Используем знакомую формулу Муавра для вычисления корней любой степени:

Так как степень , то по формуле :

Ответ
Пример 6
Решить квадратное уравнение над
Решение

Решать будем по общей формуле, которую все выучили в 8 классе. Находим дискриминант

Получили, что и казалось бы, что решение можно заканчивать. Но нет! В нашем задании требуется решить уравнение над комплексным множеством, а то что дискриминант отрицательный означает только лишь отсутствие вещественных корней. А комплексные корни есть! Найдем их продолжив решение:

Заметим, что и продолжим вычисление:

Получили комплексно-сопряженные корни:

Как видите любой многочлен можно решить благодаря комплексным числам.

Ответ

В статье "Комплексные числа: примеры с решением" было дано определение, основные понятия, формы записи, алгебраические операции и решение практических примеров.

xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике - Алгебра

Комплексные числа действия над комплексными числами

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

      Пусть x и y - произвольные вещественные числа.

      Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

      Множество комплексных чисел является расширением множества вещественных чисел, поскольку множество вещественных чисел содержится в нём в виде пар (x, 0).

      Комплексные числа, заданные парами (0, y), называют чисто мнимыми числами.

      Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи.

      Алгебраическая форма - это такая форма записи комплексных чисел, при которой комплексное число   z, заданное парой вещественных чисел   (x, y), записывается в виде

где использован символ   i , называемый мнимой единицей.

      Число x называют вещественной (реальной) частью комплексного числа   z = x + i y   и обозначают   Re z.

      Число y называют мнимой частью комплексного числа   z = x + i y   и обозначают   Im z.

      Комплексные числа, у которых   Im z = 0 , являются вещественными числами.

      Комплексные числа, у которых     Re z = 0 , являются чисто мнимыми числами.

      Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

      Сложение и вычитание комплексных чисел   z1 = x1 + i y1 и   z2 = x2 + i y2 осуществляется по правилам сложения и вычитания двучленов (многочленов)   x1 + i y1   и   x2 + i y2 , т.е. в соответствии с формулами

z1 + z2 == x1 + i y1 + x2 + i y2 == x1 + x2 + i (y1 + y2) ,

z1 – z2 == x1 + i y1– (x2 + i y2) == x1– x2 + i (y1– y2) .

      Умножение комплексных чисел   z1 = x1 + i y1 и   z2 = x2 + i y2 , так же, как и операции сложения и вычитания, осуществляется по правилам умножения двучленов (многочленов), однако при этом учитывается важнейшее равенство, имеющее вид:

      По этой причине

z1z2 = (x1 + i y1) (x2 + i y2) == x1x2 + i x1 y2 ++ i y1x2 + i 2y1 y2 == x1x2 + i x1y2 ++ i y1x2 – y1 y2 == x1x2 – y1 y2 ++ i (x1 y2 + i x2 y1) .

Комплексно сопряженные числа

      Два комплексных числа   z = x + iy   и Комплексные числа комплексно сопряженные числа у которых вещественные части одинаковые, а мнимые части отличаются знаком, называются комплексно сопряжёнными числами.

      Операция перехода от комплексного числа к комплексно сопряженному с ним числу называется операцией комплексного сопряжения, обозначается горизонтальной чертой над комплексным числом и удовлетворяет следующим свойствам:

Модуль комплексного числа

      Модулем комплексного числа   z = x + i y   называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле

Комплексные числа модуль комплексного числа

      Для произвольного комплексного числа   z   справедливо равенство:

Комплексные числа модуль комплексного числа

а для произвольных комплексных чисел    z1   и   z2   справедливы неравенства:

      Замечание. Если   z   - вещественное число, то его модуль   | z | равен его абсолютной величине.

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

      Деление комплексного числа   z1 = x1 + i y1   на отличное от нуля комплексное число   z2 = x2 + i y2   осуществляется по формуле

Комплексные числа деление комплексных чиселКомплексные числа деление комплексных чиселКомплексные числа деление комплексных чисел

      Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:

Комплексные числа деление комплексных чисел

      Деление на нуль запрещено.

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

      Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат   Oxy   и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

      Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью, и будем представлять комплексное число   z = x + i y   радиус–вектором с координатами   (x , y).

Комплексные числа изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

      Назовем ось абсцисс Ox вещественной осью, а ось ординат Oy – мнимой осью.

      При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Аргумент комплексного числа

      Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа   z.

      Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором    z.

      Аргумент комплексного числа  z  считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к  радиус-вектору z  происходит против часовой стрелки, и отрицательным  - в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).

Комплексные числа аргумент комплексного числа

      Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

      Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где  k  - произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента, обозначаемое   arg z   и удовлетворяющее неравенствам:

Комплексные числа аргумент комплексного числа

      Тогда оказывается справедливым равенство:

Комплексные числа аргумент комплексного числа

      Если для комплексного числа   z = x + i y   нам известны его модуль   r = | z | и его аргумент φ, то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам

Комплексные числа аргумент комплексного числа(3)

      Если же комплексное число   z = x + i y   задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа   x   и   y,   то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле

Комплексные числа аргумент комплексного числа(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

      Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом  k  обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

      Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа   z = x + i y

Расположение числа   z :

Положительная вещественная полуось

Знаки x и y :

x > 0 ,   y = 0

Главное значение аргумента:

0

Аргумент:

φ = 2kπ

Примеры:

Комплексные числа аргумент комплексного числа

Расположение числа   z :

Первый квадрант

Знаки x и y :

x > 0 ,   y > 0

Главное значение аргумента:

Комплексные числа аргумент комплексного числа

Аргумент:

Комплексные числа аргумент комплексного числа

Примеры:

Комплексные числа аргумент комплексного числа

Расположение числа   z :

Положительная мнимая полуось

Знаки x и y :

x = 0 ,   y > 0

Главное значение аргумента:

Комплексные числа аргумент комплексного числа

Аргумент:

Комплексные числа аргумент комплексного числа

Примеры:

Комплексные числа аргумент комплексного числа

Расположение числа   z :

Второй квадрант

Знаки x и y :

x < 0 ,   y > 0

Главное значение аргумента:

Комплексные числа аргумент комплексного числа

Аргумент:

Комплексные числа аргумент комплексного числа

Примеры:

Комплексные числа аргумент комплексного числа

Расположение числа   z :

Отрицательная вещественная полуось

Знаки x и y :

x < 0 ,   y = 0

Главное значение аргумента:

π

Аргумент:

φ = π + 2kπ

Примеры:

Комплексные числа аргумент комплексного числа

Расположение числа   z :

Третий квадрант

Знаки x и y :

x < 0 ,   y < 0

Главное значение аргумента:

Комплексные числа аргумент комплексного числа

Аргумент:

Комплексные числа аргумент комплексного числа

Примеры:

Комплексные числа аргумент комплексного числа

Расположение числа   z :

Отрицательная мнимая полуось

Знаки x и y :

x = 0 ,   y < 0

Главное значение аргумента:

Комплексные числа аргумент комплексного числа

Аргумент:

Комплексные числа аргумент комплексного числа

Примеры:

Комплексные числа аргумент комплексного числа

Расположение числа   z :

Четвёртый квадрант

Знаки x и y :

x < 0 ,   y < 0

Главное значение аргумента:

Комплексные числа аргумент комплексного числа

Аргумент:

Комплексные числа аргумент комплексного числа

Примеры:

Комплексные числа аргумент комплексного числа

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

      Из формулы (3) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число   z = x + i y   может быть записано в виде

z = r (cos φ + i sin φ) ,(5)

где   r  и φ - модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству   r > 0 .

      Запись комплексного числа в форме (5) называют тригонометрической формой записи комплексного числа.

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

      В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера:

cos φ + i sin φ = e iφ .(6)

      Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число   z = x + i y   может быть записано в виде

где   r   и   φ   - модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству   r > 0 .

      Запись комплексного числа в форме (7) называют экспоненциальной (показательной) формой записи комплексного числа.

      Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:

Комплексные числа формула Эйлера экспоненциальная форма записи комплексного числаКомплексные числа формула Эйлера экспоненциальная форма записи комплексного числа

а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа

cos φ + i sin φ,

или, что то же самое, числа   e iφ,   при любом значении   φ   равен 1.

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

      Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.

      Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел Комплексные числа умножение деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел записанных в экспоненциальной форме и Комплексные числа умножение деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел записанных в экспоненциальной форме записанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам

Комплексные числа умножение деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел записанных в экспоненциальной формеКомплексные числа умножение деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел записанных в экспоненциальной форме

      Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

      При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

      Возведение комплексного числа   z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле

Комплексные числа умножение деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел записанных в экспоненциальной форме

      Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

      Пусть Комплексные числа извлечение корня натуральной степени из комплексного числа - произвольное комплексное число, отличное от нуля.

      Корнем   n - ой степени из числа  z0 , где Комплексные числа извлечение корня натуральной степени из комплексного числа называют такое комплексное число   z = r e iφ , которое является решением уравнения

      Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде

Комплексные числа извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

и заметим, что два комплексных числа, записанных в экспоненциальной форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а разность аргументов равна   2kπ ,   где   k   - произвольное целое число. По этой причине справедливы равенства

Комплексные числа извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

следствием которых являются равенства

Комплексные числа извлечение корня натуральной степени из комплексного числа(9)

      Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет   n   различных корней

Комплексные числа извлечение корня натуральной степени из комплексного числа(10)

где

Комплексные числа извлечение корня натуральной степени из комплексного числаКомплексные числа извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

причем на комплексной плоскости концы радиус-векторов   zk   при   k = 0 , ... , n – 1   располагаются в вершинах правильного   n - угольника, вписанного в окружность радиуса Комплексные числа извлечение корня натуральной степени из комплексного числа с центром в начале координат.

      Замечание. В случае   n = 2   уравнение (8) имеет два различных корня   z1   и   z2 , отличающихся знаком:

z2 = – z1 .

      Пример 1. Найти все корни уравнения

z3 = – 8i .

      Решение. Поскольку

Комплексные числа извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

то по формуле (10) получаем:

Комплексные числа извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

      Следовательно,

Комплексные числа извлечение корня натуральной степени из комплексного числаКомплексные числа извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

      Пример 2. Решить уравнение

z2 + 2z + 2 = 0 .

      Решение. Поскольку дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, то вещественных корней оно не имеет. Для того, чтобы найти комплексные корни, выделим, как и в вещественном случае, полный квадрат:

Комплексные числа извлечение корня натуральной степени из комплексного числаКомплексные числа извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

      Так как

Комплексные числа извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

то решения уравнения имеют вид

z1 = – 1 + i ,       z2 = – 1 – i .

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Аргумент и модуль комплексного числа

Вычислить аргумент и модуль комплексного числа.Аргументом комплексного числа z называется угол φ в радианах радиус-вектора точки, соответствующей данному комплексному числу и обозначается Arg(z) = φ

Аргументом комплексного числа z называется угол φ в радианах радиус-вектора точки, соответствующей данному комплексному числу и обозначается Arg(z) = φ

Из определения следуют следующие формулы:

Для числа z = 0 аргумент не определен.

Главным значением аргумента называется такое значение φ, что . Обозначается: arg(z).

Свойства аргумента:

- аргумент от произведения двух комплексных чисел равен сумме аргументов этих чисел
- аргумент частного двух комплексных чисел равен разности аргументов этих чисел
- аргумент от сопряженного к комлексного числа равен отрицательному значению аргумента от этого числа.

Модулем комплексного числа z = x + iy называется вещественное число |z| равное:

Формула вычисление комплексного числа

Для любых комплексных числе z, z1, z2 имеют место следубщие свойства модуля:

для пары комплексных чисел z1 и z2 модуль их разности |z1 − z2| равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.
Вам помог этот калькулятор? Предложения и пожелания пишите на allcalc.ru@gmail.com

Поделитесь этим калькулятором на форуме или в сети!

Это помогает делать новые калькуляторы.

НЕТ

Смотрите также

allcalc.ru

Как найти аргумент комплексного числа

Комплексным числом называют число вида z =x + i * y, где x и y – действительные числа, а i = мнимая единица (т.е. число, квадрат которого равен -1). Чтобы определить понятие аргумента комплексного числа, необходимо рассмотреть комплексное число на комплексной плоскости в полярной системе координат.

Инструкция

  • Плоскость, на которой представляют комплексные числа, называется комплексной. На этой плоскости горизонтальную ось занимают вещественные числа (x), а вертикальную ось – мнимые числа (y). На такой плоскости число задается двумя координатами z = {x, y}. В полярной системе координат координатами точки являются модуль и аргумент. Модулем называют расстояние |z| от точки до начала координат. Аргументом называют угол ϕ между вектором, соединяющим точку и начало координат и горизонтальной осью системы координат (см. рисунок).
  • Из рисунка видно, что модуль комплексного числа z = x + i * y находится по теореме Пифагора: |z| = √ (x^2 + y^2). Далее аргумент числа z находится как острый угол треугольника – через значения тригонометрических функций sin, cos, tg:sin ϕ = y / √ (x^2 + y^2),cos ϕ = x / √ (x^2 + y^2),tg ϕ = y / x.
  • Например, пусть дано число z = 5 * (1 + √3 * i). Первым делом выделите вещественную и мнимую части: z = 5 +5 * √3 * i. Получается, что вещественная часть x = 5, а мнимая часть y = 5 * √3. Вычислите модуль числа: |z| = √(25 + 75) = √100 =10. Далее найдите синус угла ϕ: sin ϕ = 5 / 10 = 1 / 2. Отсюда получается аргумент числа z равен 30°.
  • Пример 2. Пусть дано число z = 5 * i. По рисунку видно, что угол ϕ = 90°. Проверьте это значение по формуле, приведенной выше. Запишите координаты данного числа на комплексной плоскости: z = {0, 5}. Модуль числа |z| = 5. Тангенс угла tg ϕ = 5 / 5 = 1. Отсюда следует, что ϕ = 90°.
  • Пример 3. Пусть необходимо найти аргумент суммы двух комплексных чисел z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i. По правилам сложения складываете эти два комплексных числа: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Далее по приведенной выше схеме рассчитываете аргумент: tg ϕ = 9 / 3 = 3.

completerepair.ru

Тригонометрическая форма комплексного числа

Также, в зависимости от решаемой задачи, вы можете перевести комплексное число в алгебраическую или показательную форму.

Геометрическое представление комплексного числа

Если рассмотреть плоскость с прямоугольной системой координат, то любому комплексному числу z=x+iy можно сопоставить точку на этой плоскости с соответствующими координатами \left\{ x, y \right\}, и радиус-вектор r комплексного числа, т.е. вектор, соединяющий начало координат с точкой на плоскости, соответствующей числу (рис. 1). Данная плоскость называется комплексной. Действительные числа располагаются на горизонтальной (вещественной) оси, мнимые части – на вертикальной (мнимой) оси.

Модуль и аргумент комплексного числа

Если z является действительным числом, то его модуль r=|z| равен абсолютной величине этого действительного числа.

Например. z=-7, \text{ }r=|-7|=7

Свойства модуля

  1. |z| \geq 0
  2. |z|=0 в том и только том случае, если z=0
  3. |z_{1}+z_{2}| \leq |z_{1}|+|z_{2}|
  4. |z_{1} \cdot z_{2}| = |z_{1}| \cdot |z_{2}|
  5. |z_{1} \div z_{2}| = |z_{1}| \div |z_{2}|
  6. |z_{1}-z_{2}| = \sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2} + (y_{1}-y_{2})^{2}}, т.е. модуль разности комплексных чисел равен расстоянию между этими числами на комплексной плоскости.

Свойства аргумента

  1. \text{tg } \varphi = \frac{y}{x}, \text{ }\text{ctg } \varphi = \frac{x}{y}, \text{ } \sin \varphi = \frac{y}{r}
  2. Для комплексного числа z \neq 0 аргумент определяется с точностью до 2 \pi n, \text{ }n \in Z. Для z=0 значение аргумента не определено.
  3. Главным значением аргумента называется число \varphi \in (-\pi; \text{ } \pi] . Для обратного числа выполняется свойство: \arg \left( \frac{1}{z} \right) = - \arg z .

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Сравнение

Два комплексных числа z_{1} = r_{1} (\cos \varphi _{1} + i \sin \varphi _{1}) и z_{2} = r_{2} (\cos \varphi _{2} + i \sin \varphi _{2}) называются равными, если |z_{1}|=|z_{2}|, \text{ }\arg z_{1} = \arg z_{2} + 2 \pi n, \text{ }n \in Z

Умножение

Для произведения комплексных чисел в тригонометрической форме верно равенство:

    \[ z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} \cdot r_{2} (\cos ( \varphi _{1} + \varphi _{2}) + i \sin ( \varphi _{1} + \varphi _{2})) \]

Подробнее про умножение комплексных чисел читайте в отдельной статье: Умножение комплексных чисел.

Деление

Частное комплексных чисел в тригонометрической форме выполняется по формуле:

    \[ z_{1} \div z_{2} = \frac{r_{1}}{r_{2}} (\cos ( \varphi _{1} - \varphi _{2}) + i \sin ( \varphi _{1} - \varphi _{2})) \]

Возведение в степень

Для возведения в степень комплексных чисел в тригонометрической форме верна формула:

    \[ z^{k} = r^{k} (\cos k \varphi + i \sin k \varphi) \]

Подробнее про возведение в степень читайте в отдельной статье: Возведение в степень комплексного числа.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Линейная алгебра N 12

8

Занятие 12. Комплексные числа.

12.1. Определение комплексных чисел в алгебраической форме. Сравнение и изображение комплексных чисел на комплексной плоскости. Комплексное сопряжение. Сложение, умножение, деление комплексных чисел.

12.2. Модуль, аргумент комплексного числа.

12.3. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа.

12.4. Возведение в целую степень и извлечение корня из комплексного числа.

Определение комплексных чисел в алгебраической форме. Сравнение и изображение комплексных чисел на комплексной плоскости. Комплексное сопряжение. Сложение, умножение, деление комплексных чисел.

Комплексным числом в алгебраической форме называется число

, (1)

где называетсямнимой единицейи- действительные числа:называетсядействительной (вещественной) частью;-мнимой частьюкомплексного числа. Комплексные числа виданазываютсячисто мнимыми числами. Множество всех комплексных чисел обозначается буквой.

По определению,

,

и т.д.

Множество всех действительных чисел является частью множества:. С другой стороны, существуют комплексные числа, не принадлежащие множеству. Например,и, т.к..

Комплексные числа в алгебраической форме естественным образом возникают при решении квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.

Пример 1. Решить уравнение.

Решение. ,

т.к. .

Следовательно, заданное квадратное уравнение имеет комплексные корни

,.

Пример 2. Найти действительную и мнимую части комплексных чисел

,,.

Решение.

- соответственно вещественная и мнимая части числа,

.

.

.

Любое комплексное число изображается вектором на комплексной плоскости, представляющей плоскость с декартовой системой координат. Начало вектора лежит в точке, а конец - в точке с координатами(рис 1.) Осьназывается вещественной осью, а ось- мнимой осью комплексной плоскости.

Рис. 1.

Комплексные числа сравниваются между собой только знаками.. Если же хотя бы одно из равенств:нарушено, то.Записи типа не имеют смысла.

По определению, комплексное число называется комплексно сопряженным числу. В этом случае пишут. Очевидно, что. Везде далее черта сверху над комплексным числом будет означать комплексное сопряжение.

Например, .

Над комплексными числами можно выполнять такие операции, как сложение (вычитание), умножение, деление.

1. Сложение комплексных чиселпроизводится так:

.

Свойства операции сложения:

- свойство коммутативности;

- свойство ассоциативности.

Нетрудно видеть, что геометрически сложение комплексных чисел означает сложение отвечающих им на плоскостивекторов по правилу параллелограмма.

Операция вычитание числа из числапроизводится так:

.

2. Умножение комплексных чисел производится так:

.

Свойства операции умножения:

- свойство коммутативности;

- свойство ассоциативности;

- закон дистрибутивности.

3. Деление комплексных чисел выполнимо только прии производится так:

.

Пример 3. Найти, если.

Решение.

1) .(ош!)

2) .(ош!)

3) .(ош!)

4) .

5) .

Пример 4. Вычислить, если.

Решение.

.

z, т.к..

.(ош!)

Нетрудно проверить (предлагается это сделать самостоятельно) справедливость следующих утверждений:

.

Модуль, аргумент комплексного числа.

Модуль комплексного числа (модульобозначается) это - неотрицательное число, т.е. .

Геометрический смысл - длина вектора, представляющего числона комплексной плоскости. Уравнениеопределяет множество всех чисел(векторов на), концы которых лежат на единичной окружности.

Аргумент комплексного числа (аргументобозначается) это – уголв радианах между вещественной осьюи числомна комплексной плоскости, причем положителен, если он отсчитывается отдопротив часовой стрелки, иотрицателен, еслиотсчитывается от осидопо часовой стрелке.

Таким образом, аргумент числа определяется неоднозначно, с точностью до слагаемого, где. Однозначно аргумент числаопределяется в пределах одного обхода единичной окружностина плоскости.Обычно требуется найти в пределах интервала, такое значение называется главным значением аргумента числа и обозначается.

ичисламожно найти из уравнения, при этомобязательнонужно учитывать, в какой четверти плоскостилежит конец вектора- точка:

если (1-я четверть плоскости), то;

если (2-я четверть плоскости), то;

если (3-я четверть плоскости), то;

если (4-я четверть плоскости), то.

Фактически, модуль и аргумент числа , это полярные координатыточки- конца векторана плоскости.

Пример 5. Найти модуль и главное значение аргумента чисел:

.

Решение.

1) .

2) .

3)

.

4) .

5)

.

6) .

7)

.

8) .

Аргументы чисел , лежащих осях, разделяющих четверти 1,2,3,4 комплексной плоскости, находятся сразу же по графическим изображениям этих чисел на плоскости.

Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах записи.

Тригонометрическая форма записикомплексного числаимеет вид:

, (2)

где - модуль,- аргумент комплексного числа. Такое представление комплексных чисел вытекает из равенств.

Показательная (экспоненциальная) форма записи комплексного числаимеет вид:

, (3)

где - модуль,- аргумент числа. Возможность представления комплексных чисел в показательной форме (3) вытекает из тригонометрической формы (2) и формулы Эйлера:

. (4)

Эта формула доказывается в курсе ТФКП (Теория функций комплексного переменного).

Пример 6. Найти тригонометрическую и экспоненциальную формы записи комплексных чисел:из примера 5.

Решение. Воспользуемся результатами примера 5, в котором найдены модули и аргументы всех указанных чисел.

1)

- тригонометрическая форма записи числа,

- показательная (экспоненциальная) форма записи числа.

2)

- тригонометрическая форма записи числа,

- показательная (экспоненциальная) форма записи числа.

3)

- тригонометрическая форма записи числа,

- показательная (экспоненциальная) форма записи числа.

4)

- тригонометрическая форма записи числа,

- показательная (экспоненциальная) форма записи числа.

5)

- тригонометрическая форма записи числа,

- показательная (экспоненциальная) форма записи числа.

6)

- тригонометрическая форма числа,

- показательная (экспоненциальная) форма числа.

7)

- тригонометрическая форма записи числа,

- показательная (экспоненциальная) форма числа.

8)

- тригонометрическая форма записи числа,

- показательная (экспоненциальная) форма записи числа.

Показательная форма записи комплексных чисел приводит к следующей геометрической трактовке операций умножения и деления комплексных чисел. Пусть - показательные формы чисел.

1.При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

2.При делении комплексного числа на числополучается комплексное число, модулькоторого равен отношению модулей, а аргумент- разностиаргументов чисел.

Возведение в целую степень и извлечение корня из комплексного числа.

По определению,

.

При возведении в целую степень комплексного числа, следует действовать так: сначала найти модульи аргументэтого числа; представитьв показательной форме; найти, выполнив следующую последовательность действий

, где. (5)

Замечание.Аргументчисламожет не принадлежать интервалу. В этом случае следует по полученному значениюнайти главное значениеаргумента

числа , прибавляя (или вычитая) числос таким значением, чтобы

принадлежало интервалу . После этого, нужно заменить в формулах (5)на.

Пример 7. Найтии, если.

Решение.

1) =(см. числоиз примера 6).

2) , где...

Следовательно, можно заменить наи, значит,

, где.

3) , где..

Заменим на. Следовательно,

.

Извлечение корня -й степенииз комплексного числапроводится по формуле Муавра-Лапласа

. (6)

Из формулы (6) видно, что имеет ровноразличных значений.

studfiles.net