Примеры решения логарифмических уравнений. Логарифмы как решать их


Задания В11. Логарифмические выражения | Подготовка к ЕГЭ по математике

 Часть 4.

Здесь смотрим части 1, 2, 3, 5

При решении задач, что мы сегодня рассматриваем, нам понадобятся свойства логарифмов.

 

 Числовые логарифмические выражения

Задание 1.

Найдите значение выражения  9\cdot 7^{\log_73}.

Решение: + показать

Задание 2.

Найдите значение выражения 16^{\log_47}.

Решение: + показать

Представим 16 как 4^2 и далее воспользуемся  следующим свойством логарифмов:

n\log_ax=\log_ax^n при x>0:

16^{\log_47}=(4^2)^\log_47=4^{2\log_47}=4^{\log_47^2}

А теперь применяем основное логарифмическое тождество:

4^{\log_47^2}=49.

Ответ: 49. 

Задание 3.

Найдите значение выражения \log_{0,2}125.

Решение: + показать

Задание 4.

Найдите значение выражения \log_8160-\log_82,5.

Решение: + показать

Задание 5.

Найдите значение выражения (\log_981)\cdot (\log_264).

Решение: + показать

(\log_981)\cdot (\log_264)=(\log_99^2)\cdot (\log_22^6)=(2\log_99)\cdot (6\log_22)=

=(2\cdot 1)\cdot (6\cdot 1)=12.

Ответ: 12. 

Задание 6.

Найдите значение выражения \log_432+\log_{0,1}10.

Решение: + показать

Складывать логарифмы не имеем право, у них разные основания.

Работаем с каждым слагаемым по отдельности:

\log_432=\log_{2^2}2^5=\frac{5}{2}\log_22=2,5;

\log_{0,1}10=\log_{10^{-1}}10=-\log_{10}10=-1;

Тогда \log_432+\log_{0,1}10=2,5-1=1,5.

Ответ: 1,5. 

Задание 7.

Найдите значение выражения \frac{\log_2225}{\log_215}.

Решение: + показать

Задание 8.

Найдите значение выражения \frac{\log_92}{\log_{81}2}.

Решение: + показать

\frac{\log_92}{\log_{81}2}=\frac{\log_92}{\log_{9^2}2}=\frac{\log_92}{\frac{1}{2}\log_{9}2}=\frac{2\log_92}{\log_92}=2.

Ответ: 2. 

Задание 9.

Найдите значение выражения \log_311\cdot \log_{11}27.

Решение: + показать

Задание 10.

Найдите значение выражения \frac{3^{\log_{13}507}}{3^{\log_{13}3}}.

Решение: + показать

\frac{3^{\log_{13}507}}{3^{\log_{13}3}}=3^{\log_{13}507-\log_{13}3}=3^{\log_{13}\frac{507}{3}}=3^{\log_{13}169}=3^2=9.

Ответ: 9. 

Задание 11.

Найдите значение выражения (1-\log_218)(1-\log_918).

Решение: + показать

(1-\log_218)(1-\log_918)=(\log_22-\log_218)(\log_99-\log_918)=

=\log_2\frac{1}{9}\cdot \log_9\frac{1}{2}=-\log_29\cdot \log_9\frac{1}{2}=-\log_2\frac{1}{2}=\log_22=1.

Ответ: 1. 

Задание 12.

Найдите значение выражения \log_{\sqrt[9]{13}}13.

Решение: + показать

\log_{\sqrt[9]{13}}13=\log_{13^{\frac{1}{9}}}13=9\log_{13}13=9.

Ответ: 9. 

Задание 13.

Найдите значение выражения \frac{\log_42}{\log_45}+\log_50,5.

Решение: + показать

\frac{\log_42}{\log_45}+\log_50,5=\log_52+\log_50,5=\log_5(2\cdot 0,5)=\log_51=0.

Ответ: 0. 

Задание 14.

Вычислите значение выражения: (5^{\log_57})^{\log_72}.

Решение: + показать

(5^{\log_57})^{\log_72}=5^{\log_57\cdot \log_72}=5^{\log_52}=2;

В самом конце мы применили основное логарифмическое тождество, а до этого – следствие из свойства 7 логарифмов.

Ответ: 2. 

Задание 15.

Найдите значение выражения \log_{16}\log_39.

Решение: + показать

Обратите внимание, это не произведение логарифмов. У логарифма по основанию 16 подлогарифмным выражением является \log_39.

\log_{16}\log_39=\log_{16}2=\log_{2^4}2=\frac{1}{4}\log_22=0,25.

Ответ: 0,25. 

Буквенные логарифмические выражения

Задание 1.

Найдите \log_a\frac{a^3}{b^5}, если \log_ab=7.

Решение: + показать

\log_a\frac{a^3}{b^5}=\log_aa^3-\log_ab^5=3\log_aa-5\log_ab=3-5\log_ab

При \log_ab=7 имеем: 3-5\log_ab=3-5\cdot 7=-32.

Ответ: -32. 

Задание 2.

Найдите значение выражения \log_a(ab^6), если \log_ba=\frac{2}{11}.

Решение: + показать

:) После плодотворной работы не помешало бы и отдохнуть немного… –>+ показать

Жизнь полна неожиданностей, неправда ли?

 

Вы можете пройти обучающий тест по теме «Преобразование логарифмических выражений».

 

 

egemaximum.ru

Логарифмы. Свойства логарифмов. Формулы с логарифмами. Десятичные, натуральные логарифмы, основное логарифмическое тождество

Определение логарифма

Логарифмом положительного числа b по основанию a (a>0, a не равно 1) называют такое число с, что ac = b: logab=c⇔ac=b(a>0,a≠1,b>0)&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp

Обратите внимание: логарифм от неположительного числа не определен. Кроме того, в основании логарифма должно быть положительное число, не равное 1. Например, если мы возведем -2 в квадрат, получим число 4, но это не означает, что логарифм по основанию -2 от 4 равен 2.

Основное логарифмическое тождество

alogab=b(a>0,a≠1) (2)

Важно, что области определения правой и левой частей этой формулы отличаются. Левая часть определена только при b>0, a>0 и a ≠ 1. Правая часть определена при любом b, а от a вообще не зависит. Таким образом, применение основного логарифмического "тождества" при решении уравнений и неравенств может привести к изменению ОДЗ.

Два очевидных следствия определения логарифма

logaa=1(a>0,a≠1) (3) loga1=0(a>0,a≠1) (4)

Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень - единицу.

Логарифм произведения и логарифм частного

loga(bc)=logab+logac(a>0,a≠1,b>0,c>0) (5)

logabc=logab−logac(a>0,a≠1,b>0,c>0) (6)

Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании "слева направо" происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного - расширение ОДЗ.

Действительно, выражение loga(f(x)g(x)) определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля.

Преобразуя данное выражение в сумму logaf(x)+logag(x), мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6).

Степень можно выносить за знак логарифма

logabp=plogab(a>0,a≠1,b>0) (7)

И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:

loga(f(x)2=2logaf(x)

Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть - только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени.

Формула перехода к новому основанию

logab=logcblogca(a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1) (8)

Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной.

Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8):

logab=1logba(a>0,a≠1,b>0,b≠1) (9)

Десятичные и натуральные логарифмы

Десятичным логарифмом числа x называется логарифм по основанию 10. Десятичные логарифмы используются довольно часто, поэтому для них введено специальное обозначение: log10x = lg x. Все перечисленные выше формулы сохраняют актуальность для десятичных логарифмов. Например, lg(xy)=lgx+lgy(x>0,y>0).

Натуральным логарифмом числа x (обозначение lnx) называется логарифм х по основанию e. Число e - иррациональное, приближенно равно 2,71. Например, ln e = 1. Пользуясь формулой (8), можно любой логарифм свести к десятичным или натуральным логарифмам: logab=lgblga=lnblna(a>0,a≠1,b>0)

Несколько простых примеров с логарифмами

Пример 1. Вычислите: lg2 + lg50. Решение. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Мы воспользовались формулой суммы логарифмов (5) и определением десятичного логарифма.

Пример 2. Вычислите: lg125/lg5. Решение. lg125/lg5 = log5125 = 3. Мы использовали формулу перехода к новому основанию (8).

Таблица формул, связанных с логарифмами

alogab=b(a>0,a≠1)
logaa=1(a>0,a≠1)
loga1=0(a>0,a≠1)
loga(bc)=logab+logac(a>0,a≠1,b>0,c>0)
logabc=logab−logac(a>0,a≠1,b>0,c>0)
logabp=plogab(a>0,a≠1,b>0)
logab=logcblogca(a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1)
logab=1logba(a>0,a≠1,b>0,b≠1)

Возможно, вас заинтересуют также:

www.repetitor2000.ru

Логарифмические уравнения, примеры решений

Найдем ОДЗ:

    \[ 2 \cdot 4^{x-2}-1>0 \]

    \[ 4^{x-2}>\frac{1}{2} \]

    \[ 2^{2(x-2)}>2^{-1} \]

    \[ 2x-4>-1 \]

    \[ 2x>3 \]

    \[ x > \frac{3}{2} \text{ } \Rightarrow \text{ } x \in \left( \frac{3}{2}; +\infty \right) \]

Решение логарифмического уравнения \log _{a} f(x) = g(x) имеет вид f(x)=a^{g(x)} . Применяя это к исходному уравнению, получим

    \[ 2 \cdot 4^{x-2}-1=4^{2x-4} \]

    \[ 2 \cdot 4^{x} \cdot 4^{-2} -1=4^{2x} \cdot 4^{-4} \]

Умножим левую и правую части последнего равенства на 4^{4}, получим:

    \[ ( 2 \cdot 4^{x} \cdot 4^{-2} -1) \cdot 4^{4} =4^{2x} \cdot 4^{-4} \cdot 4^{4} \]

    \[ 2 \cdot 4^{x} \cdot 4^{2} - 4^{4} =4^{2x} \]

    \[ 4^{2x} - 32 \cdot 4^{x} + 256=0 \]

Полученное показательное уравнение решим методом замены переменной. Введем замену t=4^{x}>0, тогда уравнение примет вид:

    \[ t^{2}-32t+256=0 \]

Полученное квадратное уравнение можно свернуть по формулам сокращенного умножения в квадрат разности:

    \[ (t-16)^{2} = 0 \text{ } \Rightarrow \text{ } t-16=0 \text{ } \Rightarrow \text{ } t = 16 \]

Сделаем обратную замену 4^{x}=16 \text{ } \Rightarrow \text{ } 4^{x} = 4^{2} \text{ } \Rightarrow \text{ } x=2 \in ОДЗ.

ru.solverbook.com

Логарифм. Свойства логарифмов

Логарифм. Свойства логарифмов

Рассмотрим равенство a^x=b. Пусть нам известны значения a и b и мы хотим найти значение x.

То есть мы ищем показатель степени, в которую нужно взвести a чтобы получить b.

Пусть переменная x может принимать любое действительное значение, тогда на переменные a и b накладываются такие ограничения: a>o,  a<>1,   b>0

Если нам известны значения a и b, и перед нами стоит задача найти неизвестное x, то для этой цели вводится математическое  действие, которое называется логарифмирование.

Чтобы найти значение x, мы берем логарифм числа b по основанию a:

x=log_{a}b

Итак,

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую надо возвести  a, чтобы получить b.

То есть основное логарифмическое тождество:

a^{log_{a}b}=b             a>o,  a<>1,   b>0

является по сути математической записью определения логарифма.

Математическая операция  логарифмирование является обратной по отношению к операции возведения в степень, поэтому свойства логарифмов тесно связаны со свойствами степени.

Перечислим основные свойства логарифмов:

(a>o,  a<>1,   b>0,  c>0,~~d>0,   d<>1

1. a^{log_{a}b}=b

2. log_{a}a=1

3. log_{a}1=0

4. log_{a}{(bc)}=log_{a}b+log_{a}c

5. log_{a}{(b/c)}=log_{a}b-log_{a}c

Следующая группа свойств позволяет представить  показатель степени выражения, стоящего под знаком логарифма, или стоящего в основании логарифма в виде коэффициента  перед знаком логарифма:

6. log_{a}b^n=nlog_{a}b

7. log_{a^k}b={1/k}log_{a}b

8. log_{a^k}b^n={n/k}log_{a}b

9. log_{a^n}b^n=log_{a}b

Следующая группа формул позволяет перейти от логарифма с данным основанием к логарифму с произвольным основанием, и называется формулами перехода к новому основанию:

10. log_{a}b={log_{d}b}/{log_{d}a}

11. log_{a}b=1/{log_{b}a}

12. (следствие из свойства 11)

{log_{a}b}*{log_{b}a}=1

Следующие три свойства не очень известны, однако они часто используются при решении логарифмических уравнений, или при упрощении выражений, содержащих логарифмы:

13. a^{log_{b}c}=c^{log_{b}a}

14. a^{log^2_{a}b}=b^{log_{a}b}

15. a^{sqrt{log_{a}b}}=b^{sqrt{log_{b}a}}

 

Частные случаи:

log_{10}a=lg(a) - десятичный логарифм

log_{ e}(a)=ln(a)  -  натуральный логарифм

При упрощении выражений, содержащих логарифмы  применяется общий подход:

1. Представляем десятичные дроби в виде обыкновенных.

2. Смешанные числа представляем в виде неправильных дробей.

3. Числа, стоящие в основании логарифма и под знаком логарифма раскладываем на простые множители.

4. Стараемся привести все логарифмы к одному основанию.

5. Применяем свойства логарифмов.

Давайте рассмотрим примеры упрощения выражений, содержащих логарифмы.

Пример 1.

Вычислить:

2^{log_{sqrt{2}}2,5}-7^{log_{343}{{(7,25)}^3}}+3^{4log_9{2,5}}

Упростим все показатели степеней: наша задача привести их к логарифмам, в основании которых стоит то же число, что и в основании степtни.

{log_{sqrt{2}}2,5}={log_{{2}^{1/2}}2,5}=(по свойству 7){2log_{2}2,5}=(по свойству 6) {log_{2}{{2,5}^2}}={log_{2}{6,25}}

{log_{343}{{(7,25)}^3}}={log_{7^3}{{(7,25)}^3}}={1/3}{log_{7}{{(7,25)}^3}}={3/3}{log_{7}{(7,25)}}={log_{7}{(7,25)}}

{4log_9{2,5}}={4log_{3^2}{2,5}}={4/2}log_{3}{2,5}={2}log_{3}{2,5}=log_{3}{{2,5}^2}=log_{3}{6,25}

Подставим показатели, которые у нас получились в исходное выражение. Получим:

2^{log_{2}{6,25}}-7^{log_{7}{(7,25)}}+3^{log_{3}{6,25}}=6,25-7,25+6,25=5,25

Ответ: 5,25

 

Пример 2. Вычислить:

{log_6{30}}/{log_{30}6}-{log_6{180}}/{log_5{6}}

Приведем все логарифмы к основанию 6 (при этом логарифмы из знаменателя дроби "перекочуют" в числитель):

{log_6{30}}*{log_{6}{30}}-{log_{6}{180}}*{log_6{5}}

Разложим числа, стоящие под знаком логарифма на простые множители:

{log_{6}{(5*6)}}*{log_{6}{(5*6)}}-{log_{6}{({6^2}*5})}*{log_{6}{5}}

Применим свойства 4 и 6:

{(log_{6}5+log_{6}6)}*{(log_{6}5+log_{6}6)}-{(2log_{6}6+log_{6}5)}*{log_{6}5}=({log_{6}5+1})*{(log_{6}5+1)}-{(2+log_{6}5)}*{log_{6}5}

Введем замену  {log_{6}5}=t

({t+1})*{(t+1)}-{(2+t)}*{t}=(t+1)^2-(2+t)t

Получим:1+2t+t^2-2t-t^2=1

Ответ:  1 

 

Скачать таблицу логарифм и его свойства

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Логарифм. Примеры

Логарифмом числа b по основанию a обозначают выражение логарифм. Вычислить логарифм значит найти такой степень x (логарифм, формула),при котором выполняется равенство Показательное уравнение

Основные свойства логарифма

Приведенные свойства необходимо знать, поскольку, на их основе решаются практически все задачи и примеры связаны с логарифмами. Остальные экзотических свойств можно вывести путем математических манипуляций с данными формулами

1. логарифм, свойства2. логарифм единицы3. сумма логарифмов4. разница логарифмов5. логарифм, свойства6. логарифм, прехид к основанию7. логарифм, свойства8. логарифм, свойства9. логарифм, свойства10. логарифм, свойства11. логарифм, свойства12. логарифм, свойства13. логарифм, свойства14. логарифм, свойства15. логарифм, свойства

При вычислениях формулы суммы и разности логарифмов (3,4 ) встречаются довольно часто. Остальные несколько сложные, но в ряде задач являются незаменимыми для упрощения сложных выражений и вычисления их значений.

Распространены случаи логарифмов

Одними из распространенных логарифмов такие в которых основание ровное десять, экспоненте или двойке. Логарифм по основанию десять принято называть десятичным логарифмом и упрощенно обозначать lg(x). десятичный логарифм

Из записи видно, что основы в записи не пишут. Для примера десятичный логарифмдесятичный логарифмдесятичный логарифм

Натуральный логарифм – это логарифм у которого за основу экспонента ( обозначают ln(x)).натуральный логарифм

Экспонента равна 2,718281828…. Чтобы запомнить экспоненту можете изучить правило: экспонента равна 2,7 и два раза год рождения Льва Николаевича Толстого. Зная это правило будете знать и точное значение экспоненты, и дату рождения Льва Толстого.

И еще один важный логарифм по основанию два обозначаютдвоичный логарифм

Производная от логарифм функции равна единице разделенной на переменнуюпроизводная логарифма

Интеграл или первообразная логарифма определяется зависимостьюпервообразная логарифма

Приведенного материала Вам достаточно, чтобы решать широкий класс задач связанных с логарифмами и логарифмирования. Для усвоения материала приведу лишь несколько распространенных примеров из школьной программы и ВУЗов.

Примеры на логарифмы

Прологарифмировать выражения

Пример 1. а). х=10ас^2 (а>0,с>0).

По свойствам 3,5 вычисляем логарифмированиялогарифмирования

2.По свойству разницы логарифмов имеемлогарифмирования

3. Используя свойства 3,5 находимлогарифмирования

4. где .

На вид сложное выражение с использованием ряда правил упрощается к видулогарифм, примерлогарифм, пример

------------------------------------------

Нахождение значений логарифмов

Пример 2. Найти х, есливычисления логарифма

Решение. Для вычисления применим до последнего слагаемого 5 и 13 свойствавычисления логарифма

Подставляем в запись и скорбимзначение логарифма

Поскольку основания равные, то приравниваем выражения логарифмическое уравнение

------------------------------------------

Пример 3. Пусть задано значение логарифмовлогарифм числалогарифм числалогарифм числалогарифм числа

Вычислить log[a](x), если

Решение: Прологарифмируем переменную, чтобы расписать логарифм через сумму слагаемыхнахождение логарифмаотискание логарифмаотискание логарифма

------------------------------------------

На этом знакомство с логарифмами и их свойствами только начинается. Упражняйтесь в вычислениях, обогащайте практические навыки - полученные знания Вам скоро понадобятся для решения логарифмических уравнений. Изучив основные методы решения таких уравнений мы расширим Ваши знания для другой не менее важной теме - логарифмические неравенства ...

yukhym.com

Логарифмические уравнения на примерах

Логарифмическими называются уравнения содержащие неизвестную величину под знаком логарифма или в основании логарифма (или в обоих местах одновременно). Их легко свести к квадратным или степенным уравнениям относительно переменной если знать свойства логарифма. Например, логарифмическими будут следующие уравнениялогарифмическое уравнениелогарифмическое уравнение, примерлогарифмическое уравнение

Необходимо отметить что во время решения логарифмических уравнений необходимо учитывать область допустимых значений ( ОДЗ ) : под знаком логарифма могут находиться только положительные величины, в основе логарифмов - положительные, отличные от единицы. Однако нахождения ОДЗ порой может быть очень громоздким и на практике имеем возможность или искать ОДЗ, или сделать проверку подстановкой корней уравнения.

Простейшим логарифмическим уравнением называют уравнение видалогарифмическое уравнение

Его решение вычисляется потенцированием (нахождение числа или выражения по его логарифму)потенцирование

В некоторых случаях, решая логарифмические уравнения, целесообразно производить замену переменной. Например в уравнениилогарифмическое уравнениеудобно сделать замену замена и мы приходим к квадратному уравнению. Причем оба корни этого квадратного уравнения можно подставить в замену чтобы найти подходящее х.

Стоит запомнить что десятичный логарифм от единицы со следующими нулями равно количеству нулей в записи этого числа.логарифм десятичный

Для десятичного логарифма от единицы с предыдущими нулями правило подобное. Он равен количеству всех нулей в записи этого числа, включая и ноль целых, взятых со знаком минус. Для примералогарифм десятичный

На этом необходимый теоретический материал рассмотрен и можно переходить к рассмотрению практических примеров. Внимательно рассмотрите их решения это позволит усвоить некоторые правила логарифмов и увеличит практическую базу, которая пригодится при прохождении ВНО , контрольных, тестах и т.д.

Пример 1. Решить уравнение.логарифмическое уравнение, пример

Решение. Используя свойство логарифмов переписываем уравнение в виделогарифмическое уравнениеДелаем заменузаменаи переписываемУмножаем на переменную и записываем в виде квадратного уравненияквадратное уравнениеВычисляем дискриминантдискриминантКорни уравнения приобретут значениякорни уравненияВозвращаемся к замене и находимпотенцированиепотенцированиеУравнение имеет два решениярешение

 

Пример 2. Решить уравнение. логарифмическое уравнение, пример

Решение. Раскрываем скобки и записываем в виде суммы логарифмовУчитывая что уравнение примет видПереносим слагаемое за знаком равенства в правую сторонуОба множители приравниваем к нулю и находимпотенцированиепотенцирование

 

Пример 3. Решить уравнение.логарифмическое уравнение, пример

Решение. Перепишем правую сторону в виде квадрата и прологарифмируем по основанию 10 обе части уравненияделаем заменузаменаи сводим уравнение к квадратномуквадратное уравнениеДискриминант такого уравнения принимает нулевое значение - уравнение имеет два одинаковых решениякорни уравненияВозвращаемся к замене которую делали вышепотенцирование

 

Пример 4. Решить уравнение.логарифмическое уравнение, пример

Решение. Выполним некоторые преобразования с слагаемыми уравненияпреобразованияпреобразованияпреобразованияЛогарифмическое уравнение упростится до следующегоупрощенияПоскольку логарифмы имеют одинаковые основания то значение под знаком логарифма тоже равны. На основе этого имеемРасписываем и решаем с помощью дискриминантаквадратное уравнениедискриминанткорни уравненияВторой корень не может быть решением, поскольку никакое положительное число при возведены в степени не даст в результате -1. Итак x=2 – единственное решение уравнения.

 

Пример 5. Найти решение уравнения . логарифмическое уравнение, пример

Решение. Выполняем упрощения уравненияупрощенияупрощенияупрощенияупрощенияПо свойству переходим ко второй основы во втором логарифмеупрощенияупрощенияупрощенияПо правилу логарифмирования имеемСводим уравнение к квадратному и решаем егоквадратное уравнениедискриминантДискриминант равен нулю, следовательно имеем один корень кратности двакорни уравнения

 

Пример 6. Найти решение уравнения.логарифмическое уравнение, пример

Решение. Заданное уравнение и подобные ему решаются путем сведения к общей основе. Для этого преобразуем правую сторону уравнения к видуи подставим в уравнениеПоскольку основы логарифмов ровны переходим до показательного уравненияупрощенияВыполняем замену замена и сводим к квадратному уравнениюквадратное уравнениедискриминанткорни уравненияВозвращаемся к замене и вычисляемвычислениявычисления

 

Пример 7. Найти решение уравнения.логарифмическое уравнение, пример

Решение. Не пугайтесь подобных задач, если делать все по правилам то решение получается без труда. Забегая вперед скажу что корни в скобках к примеру отношения не имеют. Они для того чтобы напугать простых математиков.Упростим сначала второй логарифмупрощениеДальше выполняем подстановку и сведения слагаемых под один логарифмупрощениеПриравниваем к правой части уравнения и упрощаемупрощениеупрощениеспрощенняпотенцированиеКак видите - решение оказалось проще чем выглядело до решения, а результат x=100 только подтверждает это.

При решении логарифмических уравнений важно хорошо знать свойства логарифмов. Все остальные действия сводятся, как правило, к решению квадратных уравнений или степенных зависимостей относительно неизвестных. Поэтому практикуйте самостоятельно и не имейте проблем с логарифмическими уравнениями.

yukhym.com

Примеры решения простейших логарифмических уравнений

Рассмотрим примеры решения простейших логарифмических уравнений.

    \[1){\log _{0,5}}(3x - 2) = - 2\]

ОДЗ: 3x-2>0.

Пока её не ищем.

Далее,

    \[{\log _{0,5}}(3x - 2) = {\log _{0,5}}{(0,5)^{ - 2}}\]

    \[3x - 2 = {(0,5)^{ - 2}}\]

Возведём 0,5 в степень -2:

    \[{(0,5)^{ - 2}} = {(\frac{5}{{10}})^{ - 2}} = {(\frac{{10}}{5})^2} = {2^2} = 4,\]

    \[3x - 2 = 4\]

Так как 3x-2=4>0, то условие 3x-2>0 выполняется автоматически, то есть посторонние корни в ходе решения данного уравнения не появятся, и неравенство из ОДЗ можно не решать.

    \[3x = 4 + 2\]

    \[3x = 6\]

    \[x = 2\]

Ответ:2.

    \[2){\log _4}({x^2} + 15x) = 2\]

Запишем ОДЗ, но искать её пока не будем:

ОДЗ: x²+15x>0.

    \[{\log _4}({x^2} + 15x) = {\log _4}{4^2}\]

    \[{x^2} + 15x = {4^2}\]

Так как x²+15x=16>0, то условие x²+15x>0 выполняется автоматически и ОДЗ можно не искать.

    \[{x^2} + 15x - 16 = 0\]

Корни уравнения можно найти по теореме, обратной теореме Виета:

    \[\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = - 15\\ {x_1} \cdot {x_2} = - 16 \end{array} \right. \Rightarrow {x_1} = - 16,{x_2} = 1.\]

Ответ: -16;1.

    \[3){\log _{x + 1}}(2{x^2} + 5x - 3) = 2\]

ОДЗ записываем, но пока не решаем:

    \[\left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} + 5x - 3 > 0,\\ x + 1 > 0,\\ x + 1 \ne 1. \end{array} \right.\]

Далее

    \[{\log _{x + 1}}(2{x^2} + 5x - 3) = {\log _{x + 1}}{(x + 1)^2}\]

    \[2{x^2} + 5x - 3 = {(x + 1)^2}\]

Так как x+1>0, то и (x+1)²>0, поэтому условие 2x²+5x-3>0 выполняется автоматически и первое неравенство можно не решать. Таким образом, для нахождения ОДЗ решаем систему из двух неравенств:

    \[\left\{ \begin{array}{l} x + 1 > 0\\ x + 1 \ne 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > - 1\\ x \ne 0 \end{array} \right.\]

Возвращаемся к уравнению. Правая часть — квадрат суммы:

    \[2{x^2} + 5x - 3 = {x^2} + 2x + 1\]

    \[{x^2} + 3x - 4 = 0\]

    \[\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = - 3\\ {x_1} \cdot {x_2} = - 4 \end{array} \right. \Rightarrow {x_1} = - 4,{x_2} = 1.\]

Первый корень не входит в ОДЗ.

Ответ:1.

    \[4){\log _x}128 = 7\]

ОДЗ:

    \[\left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ x \ne 1 \end{array} \right.\]

По определению логарифма,

    \[{x^7} = {2^7}\]

    \[x = 2\]

Ответ: 2.

    \[5){\log _{3 - x}}16 = 4\]

ОДЗ:

    \[\left\{ \begin{array}{l} 3 - x > 0\\ 3 - x \ne 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x < 3\\ x \ne 2 \end{array} \right.\]

    \[{(3 - x)^4} = 16\]

    \[\left[ \begin{array}{l} 3 - x = 2\\ 3 - x = - 2 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 5 \end{array} \right.\]

ОДЗ удовлетворяет только x=1.

Ответ: 1.

www.logarifmy.ru