Дробная степень. Как возвести в дробь в дробную степень


Дробная степень | Алгебра

Какими свойствами обладает степень с дробным показателем (дробная степень)? Как выполнить возведение числа в дробную степень?

Определение.

1) Степенью числа a (a>0) с рациональным показателем r

    \[r = \frac{m}{n},\]

где m — целое число, n — натуральное число (n>1), называется число

    \[{a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\]

2) При a=0 и r>0 

    \[{0^r} = 0.\]

В частности,

    \[{a^{\frac{1}{2}}} = \sqrt a \]

При a<0 степень с дробным показателем не определяется.

Все свойства степеней из курса алгебры 7 класса выполняются и для степеней с рациональными показателями.

Для упрощения вычислений при возведении числа в дробную степень удобно использовать таблицу степеней и следующее свойство корня:

    \[\sqrt[n]{{{a^m}}} = {(\sqrt[n]{a})^m}\]

Примеры.

Выполнить возведение в дробную степень:

    \[1){81^{\frac{1}{4}}} = \sqrt[4]{{81}} = 3;\]

    \[2){128^{\frac{5}{7}}} = \sqrt[7]{{{{128}^5}}} = {(\sqrt[7]{{128}})^5} = {2^5} = 32;\]

Если показатель степени — десятичная дробь, нужно предварительно перевести ее в обыкновенную.

    \[3){625^{0,75}} = {625^{\frac{3}{4}}} = \sqrt[4]{{{{625}^3}}} = {(\sqrt[4]{{625}})^3} = \]

    \[ = {5^3} = 125;\]

    \[4){243^{0,4}} = {243^{\frac{2}{5}}} = \sqrt[5]{{{{243}^2}}} = {\left( {\sqrt[5]{{243}}} \right)^2} = \]

    \[ = {3^2} = 9.\]

Смешанное число нужно предварительно перевести в неправильную дробь:

    \[5){(15\frac{5}{8})^{\frac{2}{3}}} = {(\frac{{125}}{8})^{\frac{2}{3}}} = \sqrt[3]{{{{(\frac{{125}}{8})}^2}}} = {(\sqrt[3]{{\frac{{125}}{8}}})^2} = \]

    \[ = {(\frac{5}{2})^2} = \frac{{25}}{4} = 6\frac{1}{4};\]

    \[6){(12\frac{1}{4})^{1,5}} = {(\frac{{49}}{4})^{\frac{3}{2}}} = \sqrt {{{(\frac{{49}}{4})}^3}} = {(\sqrt {\frac{{49}}{4}} )^3} = \]

    \[ = {(\frac{7}{2})^3} = \frac{{343}}{8} = 42\frac{7}{8}.\]

www.algebraclass.ru

Возвести число в дробную степень. Как возводить число в дробную степень. На пример 3^3/7

это тоже самое что 3 в степени 3 и из этого корень седьмой степени

Откуда вообще взялась дробная степень? Начинали с натуральной. a^n = a*a*....*a (n раз) . Причем n &gt; 1, это важно. Это определение натуральной степени. Потом стали пытаться выполнять действия над степенями. Умножение степеней с одинаковыми показателями. a^n * a^m (натуральные n&gt;1, m&gt;1) Просто перемножаем: (a*a*...*a) * (a*a*...a) = a^(n+m) - всё тривиально. (а^n)^m = a^(nm). Это тоже просто. (*) Потом деление. a^n / a^m Тут делаем замечание: n &gt; m Записываем в виде дроби, сокращаем и получаем a^(n-m). Тоже просто. А если n и m различаются на единицу? Тогда после сокращения получим просто a. Но из формулы следует: a^(n-m) = a^1 Ага, значит, а в первой степени придется считать равным а. А если n = m? Тогда после сокращения получим 1. А из формулы: a^(n-m) = a^0. И оно должно быть равно 1. А вот теперь! Определение квадратного корня знаем. (Кубического тоже. И так далее. ) И вот, (корень из а) * (корень из а) = а. По определению квадратного корня. Но из формулы умножения степеней придется принять, что (корень из а) есть a^(1/2). Если хотим, чтобы эта формула выполнялась не только для натуральных показателей (а мы-то хотим! ) Точно так же (куб. корень из а) * (куб. корень из а) * (куб. корень из а) = а. И (куб. корень из а) = a^(1/3) А если a^(1/3) возвести в квадрат? Тогда из (*) получим: (a^(1/3))^2 = a^(2/3) Вот и научились возводить число в рациональную степень.

touch.otvet.mail.ru

Как возвезсти дробь в отрицательную степень? Как возвести дробь в отрицательную степень? 1/2 ^ -3 -??Помогите решить.

(1/2)^ - 3 = (2/1) ^ 3 = 8 Чему вас только в школе учат.

Получается так: 1 делить на 1\2 в степени 3= 1 делить на 1\8=8

a/b в степени -n равно b/a в степени +n....например 1/2 в степени -3 равно 2/1 в степени 3 тоже равна 8

(1/2)^ - 3 = (2/1) ^ 3 = 8

touch.otvet.mail.ru

как возвести число в отрицательную дробную степень например число "16" в степени "-5/4"

Это то же самое, что дробь с числителем, равным единице, и с знаменателем, равным 16 в степени 5/4. Теперь разберемся с дробной степенью 5/4. В знаменателе дробной степени стоит 4. Это то же самое, что корень 4-ой степени. В числителе дробной степени стоит 5. Это означает, что подкоренное выражение надо возвести в 5-ую степень. Таким образом, ваше выражение - это дробь, в числителе которой единица, а в знаменателе - корень 4-ой степени, а под корнем - 16 в пятой степени.

16=2"4 (2"4)"(-5\4)=(2)" (-5)=1\2"5=1\32.

16^(-5/4) = = (2^4)^(-5\4) = = 2^{4 * (-5\4)} = = 2^(-20\4) = = 2^(-5) = = (1\2)^(+5) = = 1\ (2^5) = = 1\32

touch.otvet.mail.ru

Подскажите пожалуйста как дробь возвести в степень???

Возводишь одновременно и числитель и знаменатель в заданную степень...

отдельно возвести в степень числитель и знаменатель

Нужно в эту степень возвести и числитель, и знаменатель.

нужно и числитель и знаменатель возвести в степень

touch.otvet.mail.ru

Как возводить в дробную степень

Значение степени с дробным показателем редко является целым числом. Нередко представить итог вычисления такой степени в десятичной дроби дозволено только с некоторой долей точности.

Вам понадобится

Инструкция

1. Преобразовать дробный показатель в положительную либо неправильную дробь. Целую часть неправильной дроби выделять не необходимо, даже напротив — если дробь представлена в виде дробной и целой части, то ее нужно представить неправильной дробью.

2. Вычислить значение степени числа с показателем, равным числителю полученной дроби.

3. Вычислить корень обнаруженного в шаге 2 числа. Показателем корня взять знаменатель дроби.

Видео по теме

Обратите внимание! Если в задаче не указано, с какой точностью следует вычислять значение степени, то вычисляются все те значения, которые дозволено вычислить с точностью до целых. Те же, которые представляют из себя число с огромным числом знаков позже десятичной запятой, остаются с корнями. Скажем, квадратный корень из 2-х, кубический корень из семи. В физике обыкновенно вычисляют значение таких корней, округляя до сотых, если не указана иная степень точности.

Полезный совет Дозволено вначале вычислить корень по знаменателю, а потом построить итог в степень с показателем, равным числителю. Получится то же самое значение. Сократите числитель и знаменатель дроби показателя степени с подмогой разложения на примитивные сомножители. Для степеней с дробным показателем действительны все те же правила действий, что и для степени с естественным показателем. Для дробей в показателе степени действительны все правила арифметических действий с дробями.

jprosto.ru

Дробное число в дробную степень

Возведение дробного числа в дробную степень, не так сложна, если понимать что мы хотим сделать. Хотя у многих подобный вопрос вызывает  панику.

Данную тему мы уже поднимали в материале Корни и степени комплексных чисел онлайн но вернемся еще раз к написанному.

Для того, что бы нам решать подобные задачи нам необходимо знать связь натурального логарифма   и экспоненты .

Связь очень проста  или  так 

Из последней формулы следует вывод что 

Подумав, теперь легко решить нашу поставленную задачу

Что бы возвести дробное число  в дробную степень

вычислим значение натурального логарифма

и результат возведем в экспоненту

Это и будет являтся  результатом возведения дробного числа в дробную степень.

Примеры

Удачных расчетов!

 

  • Значение производной многочлена по методу Горнера >>

www.abakbot.ru