Как найти точку пересечения прямой и параболы. Как найти точку пересечения прямой и параболы


Как найти точку пересечения прямой и параболы

Задачи по поиску точек пересечения каких-либо фигур идеологически примитивны. Трудности в них бывают только из-за арифметики, потому что именно в ней допускаются разные опечатки и ошибки.

Инструкция

1. Данная задача решается аналитически, следственно дозволено совсем не рисовать графики прямой и параболы. Зачастую это дает огромный плюс в решении примера, потому что в задаче могут быть даны такие функции, что их проще и стремительней не нарисовать.

2. Согласно учебникам по алгебре парабола задается функцией вида f(x)=ax^2+bx+c, где a,b,c – это вещественные числа, притом показатель a хорош он нуля. Функция g(x)=kx+h, где k,h – это вещественные числа, определяет прямую на плоскости.

3. Точка пересечения прямой и параболы – это всеобщая точка обеих кривых, следственно в ней функции примут идентичные значение, то есть f(x)=g(x). Данное заявление разрешает записать уравнение: ax^2+bx+c=kx+h, которое даст вероятность обнаружить уйма точек пересечения .

4. В уравнении ax^2+bx+c=kx+h нужно перенести все слагаемые в левую часть и привести сходственные: ax^2+(b-k)x+c-h=0. Сейчас остается решить полученное квадратное уравнение.

5. Все обнаруженные «иксы» – это еще не результат на задачу, потому что точку на плоскости характеризуют два вещественных числа (x,y). Для полного заключения решения нужно вычислить соответствующие «игрики». Для этого необходимо подставить «иксы» либо в функцию f(x), либо в функцию g(x), чай для точки пересечения правильно: y=f(x)=g(x). Позже этого вы обнаружите все всеобщие точки параболы и прямой .

6. Для закрепления материала дюже главно разглядеть решение на примере. Пускай парабола задается функцией f(x)=x^2-3x+3, а прямая – g(x)=2x-3. Составьте уравнение f(x)=g(x), то есть x^2-3x+3=2x-3. Перенося все слагаемые в левую часть, и приводя сходственные, получите: x^2-5x+6=0. Корни данного квадратного уравнения: x1=2, x2=3. Сейчас обнаружьте соответствующие «игрики»: y1=g(x1)=1, y2=g(x2)=3. Таким образом, обнаружены все точки пересечения : (2,1) и (3,3).

Точку пересечения прямых дозволено приблизительно определить по графику. Впрочем частенько необходимы точные координаты этой точки либо график строить не требуется, тогда дозволено обнаружить точку пересечения , зная только уравнения прямых.

Инструкция

1. Пускай две прямые заданы всеобщими уравнениями прямой: A1*x + B1*y + C1 = 0 и A2*x + B2*y + C2 = 0. Точка пересечения принадлежит и одной прямой, и иной. Выразим из первого уравнения прямой x, получим: x = -(B1*y + C1)/A1. Подставим полученное значение во второе уравнение: -A2*(B1*y + C1)/A1 + B2*y + C2 = 0. Либо -A2B1*y — A2C1 + A1B2*y + A1C2 = 0, отсель y = (A2C1 — A1C2)/(A1B2 — A2B1). Подставим обнаруженное значение в уравнение первой прямой: A1*x + B1(A2C1 — A1C2)/(A1B2 — A2B1) + C1 = 0.A1(A1B2 — A2B1)*x + A2B1C1 — A1B1C2 + A1B2C1 — A2B1C1 = 0(A1B2 — A2B1)*x — B1C2 + B2C1 = 0Тогда x = (B1C2 — B2C1)/(A1B2 — A2B1).

2. В школьном курсе математики прямые зачастую задаются уравнением с угловым показателем, разглядим данный случай. Пускай две прямые заданы таким образом: y1 = k1*x + b1 и y2 = k2*x + b2. Видимо, что в точке пересечения y1 = y2, тогда k1*x + b1 = k2*x + b2. Получаем, что ордината точки пересечения x = (b2 — b1)/(k1 — k2). Подставим x в всякое уравнение прямой и получим y = k1(b2 — b1)/(k1 — k2) + b1 = (k1b2 — b1k2)/(k1 — k2).

Видео по теме

Уравнение параболы является квадратичной функцией. Существует несколько вариантов составления этого уравнения. Все зависит от того, какие параметры представлены в условии задачи.

Инструкция

1. Парабола представляет собой кривую, которая по своей форме напоминает дугу и является графиком степенной функции. Самостоятельно от того, какие колляции имеет парабола, эта функция является четной. Четной именуется такая функция, у которой при всех значениях довода из области определения при изменении знака довода значение не изменяется:f(-x)=f(x)Начните с самой примитивную функции: y=x^2. Из ее вида дозволено сделать итог, что она нарастает как при правильных, так и при негативных значениях довода x. Точка, в которой x=0, и при этом, y =0 считается точкой минимума функции.

2. Ниже приведены все основные варианты построения этой функции и ее уравнение. В качестве первого примера ниже рассмотрена функция вида:f(x)=x^2+a, где a — целое числоДля того, дабы возвести график данной функции, нужно сдвинуть график функции f(x) на a единиц. Примером может служить функция y=x^2+3, где по оси y сдвигают функцию вверх на две единицы. Если дана функция с противоположным знаком, скажем y=x^2-3, то ее график сдвигают вниз по оси y.

3. Еще один вид функции, которой может быть задана парабола — f(x)=(x +a)^2. В таких случаях график, напротив, сдвигается по оси абсцисс (оси x) на a единиц. Для примера дозволено разглядеть функции: y=(x +4)^2 и y=(x-4)^2. В первом случае, где имеется функция со знаком плюс, график сдвигают по оси x налево, а во втором случае — вправо. Все эти случаи показаны на рисунке.

4. Существуют также параболические зависимости вида y=x^4. При таких случаях x=const, а y круто повышается. Впрочем, это касается только четных функций.Графики параболы зачастую присутствуют и в физических задачах, скажем, полет тела описывает линию, схожую именно на параболу. Также вид параболы имеет продольное сечение рефлектора фары, фонаря. В различие от синусоиды, данный график является непериодическим и нарастающим.

Данная задача на построение точки пересечения прямой с плоскостью является классической в курсе инженерной графики и выполняется способами начертательной геометрии и их графического решения на чертеже.

Инструкция

1. Разглядим определение точки пересечения прямой с плоскостью частного расположения (рисунок 1).Прямая l пересекает фронтально-проектирующую плоскость ?. Точка их пересечения K принадлежит и прямой и плоскости, значит, общая проекция K2 лежит на ?2 и l2. То есть, K2= l2??2, а ее горизонтальная проекция K1 определяется на l1 при помощи линии проекционной связи.Таким образом, желанная точка пересечения K(K2K1) строится непринужденно без использования вспомогательных плоскостей.Подобно определяются точки пересечения прямой с всякими плоскостями частного расположения.

2. Разглядим определение точки пересечения прямой с плоскостью всеобщего расположения. На рисунке 2 в пространстве заданы произвольно расположенные плоскость ? и прямая l . Для определения точки пересечения прямой с плоскостью всеобщего расположения используется способ вспомогательных секущих плоскостей в дальнейшем порядке:

3. Через прямую l проводится вспомогательная секущая плоскость ?.Для облегчения построений это будет проектирующая плоскость.

4. Дальше строится линия пересечения MN вспомогательной плоскости с заданной: MN=???.

5. Отмечается точка K пересечения прямой l и построенной линии пересечения MN. Она и является желанной точкой пересечения прямой и плоскости.

6. Применим это правило для решения определенной задачи на комплексном чертеже.Пример. Определить точку пересечения прямой l с плоскостью всеобщего расположения, заданной треугольником ABC (рисунок 3).

7. Через прямую l проводится вспомогательная секущая плоскость ?, перпендикулярная плоскости проекции ?2. Ее проекция ?2 совпадает с проекцией прямой l2.

8. Строится линия MN. Плоскость ? пересекает AB в точке M. Отмечается ее общая проекция M2= ?2?A2B2 и горизонтальная M1 на A1B1 по линии проекционной связи.Плоскость ? пересекает сторону AC в точке N. Ее общая проекция N2=?2?A2C2, горизонтальная проекция N1 на A1C1.Прямая MN принадлежит единовременно обеим плоскостям, а, значит, является линией их пересечения .

9. Определяется точка K1 пересечения l1 и M1N1, после этого с поддержкой линии связи строится точка K2. Выходит, K1 и K2 – проекции желанной точки пересечения K прямой l и плоскости ? ABC:K(K1K2)= l(l1l2)? ? ABC(A1B1C1, A2B2C2).При помощи конкурирующих точек М,1 и 2,3 определяется видимость прямой l касательно данной плоскости ? ABC.

Видео по теме

Обратите внимание! Применяйте вспомогательную плоскость при решении задачи.

Полезный совет Исполняйте вычисления, применяя подробные чертежи, соответствующие условиям задачи. Это поможет стремительней сориентироваться в решении.

Две прямые, если они непараллельны и не совпадают, неукоснительно пересекаются в одной точке. Обнаружить координаты этого места – значит вычислить точки пересечения прямых. Две пересекающиеся прямые неизменно лежат в одной плоскости, следственно довольно разглядеть их в декартовой плоскости. Разберем на примере, как обнаружить всеобщую точку прямых.

Инструкция

1. Возьмите уравнения 2-х прямых, помня о том, что уравнение прямой в декартовой системе координат уравнение прямой выглядит как ах+ву+с=0, причем а, в, с – обыкновенные числа, а х и у – координаты точек. Для примера обнаружьте точки пересечения прямых 4х+3у-6=0 и 2х+у-4=0. Для этого обнаружьте решение системы этих 2-х уравнений.

2. Для решения системы уравнений измените всякое из уравнений так, дабы перед y стоял идентичный показатель. Потому что в одном уравнении показатель перед у равен 1, то примитивно умножьте это уравнение на число 3 (показатель перед у в ином уравнении). Для этого всякий элемент уравнения умножьте на 3: (2х*3)+(у*3)-(4*3)=(0*3) и получите обыкновенное уравнение 6х+3у-12=0. Если бы показатели перед у были чудесны от единицы в обоих уравнениях, умножать нужно было бы оба равенства.

3. Вычтите из одного уравнения другое. Для этого вычтите из левой части одного левую часть иного и верно также поступите с правой. Получите такое выражение: (4х+3у-6) — (6х+3у-12)=0-0. Потому что перед скобкой стоит знак «-», все знаки в скобках поменяйте на противоположные. Получите такое выражение: 4х+3у-6 — 6х-3у+12=0. Упростите выражение и вы увидите, что переменная у исчезла. Новое уравнение выглядит так: -2х+6=0. Перенесите число 6 в иную часть уравнения, и из получившегося равенства -2х=-6 выразите х: х=(-6)/(-2). Таким образом, вы получили х=3.

4. Подставьте значение х=3 в всякое уравнение, скажем, во второе и получите такое выражение: (2*3)+у-4=0. Упростите и выразите у: у=4-6=-2.

5. Запишите полученные значения х и у в виде координат точки (3;-2). Эти и будет решение задачи. Проверьте полученное значение способом подстановки в оба уравнения.

6. Если прямые не даны в виде уравнений, а даны примитивно на плоскости, обнаружьте координаты точки пересечения графически. Для этого продлите прямые так, дабы они пересеклись, после этого опустите на оси ох и оу перпендикуляры. Пересечение перпендикуляров с осями ох и оу, будет координатами этой точки , посмотрите на рисунок и вы увидите, что координаты точки пересечения х=3 и у=-2, то есть точка (3;-2) и есть решение задачи.

Видео по теме

Парабола – это плоская кривая второго порядка, каноническое уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид y?=2px. Где р – это фокальный параметр параболы, равный расстоянию от фиксированной точки F, называемой фокусом, до фиксированной прямой D в этой же плоскости, носящей имя – директриса. Вершина такой параболы проходит через предисловие координат, а сама кривая симметрична касательно оси абсцисс Ох. В школьном курсе алгебры принято рассматривать параболу, ось симметрии которой совпадает с осью ординат Оу: x?=2py. А уравнение при этом записывается несколько напротив: y=ax?+bx+c, а=1/(2p). Нарисовать параболу дозволено несколькими методами, условно которые дозволено назвать алгебраическим и геометрическим.

Инструкция

1. Алгебраическое построение параболы.Узнаете координаты вершины параболы. Координату по оси Ох вычислите по формуле: x0=-b/(2a), а по оси Оy: y0=-(b?-4ac)/4a либо подставьте полученное значение х0 в уравнение параболы y0=ax0?+bx0+c и вычислите значение.

2. На координатной плоскости постройте ось симметрии параболы. Ее формула совпадает с формулой координаты х0 вершины параболы: x=-b/(2a). Определите, куда направлены ветви параболы. Если а>0, то оси направлены вверх, если а

3. Возьмите произвольно 2-3 значения для параметра х так, дабы: х0

4. Поставьте точки 1′, 2′, и 3′ так, дабы они были симметричны точкам 1, 2, 3 касательно оси симметрии.

5. Объедините точки 1′, 2′, 3′, 0, 1, 2, 3 плавной косой линией. Продолжите линию вверх либо вниз, в зависимости от направления параболы. Парабола построена.

6. Геометрическое построение параболы. Данный способ основан на определении параболы, как общности точек, равноудаленных как от фокуса F, так и от директрисы D.Следственно вначале обнаружьте фокальный параметр заданной параболы р=1/(2а).

7. Постройте ось симметрии параболы, как описано во 2 шаге. На ней поставьте точку F с координатой по оси Оу равной у=р/2 и точку D с координатой у=-р/2.

8. При помощи угольника постройте линию, проходящую через точку D, перпендикулярную оси симметрии параболы. Эта линия – директриса параболы.

9. Возьмите нить по длине равной одному из катетов угольника. Один конец нити кнопкой закрепите на вершине угольника, к которому прилегает данный катет, а 2-й конец – в фокусе параболы в точке F. Линейку положите так, дабы ее верхний край совпадал с директрисой D. На линейку поставьте угольник, свободным от кнопки катетом.

10. Карандаш установите так, дабы он своим острием прижимал нить к катету угольника. Двигайте угольник по линейки. Карандаш вычертит необходимую вам параболу.

Видео по теме

Обратите внимание! Не рисуйте вершину параболы в виде угла. Ее ветви сходятся друг с ином, плавно закругляясь.

Полезный совет При построении параболы геометрическим методом следите, дабы нить неизменно была натянута.

Раньше чем приступить к изысканию поведения функции, нужно определить область метаморфозы рассматриваемых величин. Примем допущение, что переменные относятся к множеству действительных чисел.

Инструкция

1. Функция — это переменная величина, зависящая от значения довода. Довод — переменная самостоятельная. Пределы изменений довода именуются областью возможных значений (ОДЗ). Поведение функции рассматривается в рамках ОДЗ потому, что в этих пределах связанность между двумя переменными не хаотическая, а подчиняется определенным правилам и может быть записана в виде математического выражения.

2. Разглядим произвольную функциональную связанность F=?(x), где ? — математическое выражение. Функция может иметь точки пересечения с осями координат либо с другими функциями.

3. В точках пересечения функции с осью абсцисс функция становится равной нулю:F(x)=0.Решите это уравнение. Вы получите координаты точек пересечения заданной функции с осью ОХ. Таких точек будет столько, сколько найдется корней уравнения на заданном участке метаморфозы довода.

4. В точках пересечения функции с осью ординат значение довода равно нулю. Следственно, задача превращается в нахождение значения функции при х=0. Точек пересечения функции с осью OY будет столько, сколько найдется значений заданной функции при нулевом доводе.

5. Для нахождения точек пересечения заданной функции с иной функцией нужно решить систему уравнений:F=?(x)W=?(x).Тут ?(x) — выражение, описывающее заданную функцию F, ?(x) — выражение, описывающее функцию W, точки пересечения с которой заданной функции надобно обнаружить. Видимо, что в точках пересечения обе функции принимают равные значения при равных значениях доводов. Всеобщих точек у 2-х функций будет столько, сколько решений у системы уравнений на заданном участке изменений довода.

Видео по теме

В точках пересечения функции имеют равные значения при идентичном значении довода. Обнаружить точки пересечения функций — значит определить координаты всеобщих для пересекающихся функций точек.

Инструкция

1. В всеобщем виде задача нахождения точек пересечения функций одного довода Y=F(x) и Y?=F?(x) на плоскости XOY сводится к решению уравнения Y= Y?, от того что в всеобщей точке функции имеют равные значения. Значения х, удовлетворяющие равенству F(x)=F?(x), (если они существуют) являются абсциссами точек пересечения заданных функций.

2. Если функции заданы несложным математическим выражением и зависят от одного довода х, то задачу нахождения точек пересечения дозволено решить графически. Постройте графики функций. Определите точки пересечения с осями координат (х=0, y=0). Задайте еще несколько значений довода, обнаружьте соответствующие значения функций, добавьте полученные точки на графики. Чем огромнее точек будет использовано для построения, тем вернее будет график.

3. Если графики функций пересекутся, определите по чертежу координаты точек пересечения. Для проверки подставьте эти координаты в формулы, которыми заданы функции. Если математические выражения окажутся объективными, точки пересечения обнаружены положительно. Если графики функций не пересекаются, испробуйте изменить масштаб. Сделайте шаг между точками построения огромнее, дабы определить, на каком участке числовой плоскости линии графиков сближаются. После этого на выявленном участке пересечения постройте больше подробнейший график с мелким шагом для точного определения координат точек пересечения.

4. Если необходимо обнаружить точки пересечения функций не на плоскости, а в трехмерном пространстве, доводится разглядеть функции 2-х переменных: Z=F(x,y) и Z?=F?(x,y). Для определения координат точек пересечения функций необходимо решить систему уравнений с двумя незнакомыми х и y при Z= Z?.

Видео по теме

jprosto.ru

Как найти точку пересечения прямой и параболы

Задачи по поиску точек пересечения каких-нибудь фигур идеологически просты. Сложности в них бывают только из-за арифметики, так как именно в ней допускаются различные опечатки и ошибки.

Инструкция

  • Данная задача решается аналитически, поэтому можно вовсе не рисовать графики прямой и параболы. Часто это дает большой плюс в решении примера, так как в задаче могут быть даны такие функции, что их проще и быстрее не нарисовать.
  • Согласно учебникам по алгебре парабола задается функцией вида f(x)=ax^2+bx+c, где a,b,c – это вещественные числа, притом коэффициент a отличен он нуля. Функция g(x)=kx+h, где k,h – это вещественные числа, определяет прямую на плоскости.
  • Точка пересечения прямой и параболы – это общая точка обеих кривых, поэтому в ней функции примут одинаковые значение, то есть f(x)=g(x). Данное утверждение позволяет записать уравнение: ax^2+bx+c=kx+h, которое даст возможность найти множество точек пересечения.
  • В уравнении ax^2+bx+c=kx+h необходимо перенести все слагаемые в левую часть и привести подобные: ax^2+(b-k)x+c-h=0. Теперь остается решить полученное квадратное уравнение.
  • Все найденные "иксы" – это еще не ответ на задачу, так как точку на плоскости характеризуют два вещественных числа (x,y). Для полного завершения решения необходимо вычислить соответствующие "игрики". Для этого нужно подставить "иксы" либо в функцию f(x), либо в функцию g(x), ведь для точки пересечения верно: y=f(x)=g(x). После этого вы найдете все общие точки параболы и прямой.
  • Для закрепления материала очень важно рассмотреть решение на примере. Пусть парабола задается функцией f(x)=x^2-3x+3, а прямая – g(x)=2x-3. Составьте уравнение f(x)=g(x), то есть x^2-3x+3=2x-3. Перенося все слагаемые в левую часть, и приводя подобные, получите: x^2-5x+6=0. Корни данного квадратного уравнения: x1=2, x2=3. Теперь найдите соответствующие "игрики": y1=g(x1)=1, y2=g(x2)=3. Таким образом, найдены все точки пересечения: (2,1) и (3,3).

completerepair.ru

Определить точки пересечения параболы и прямой

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 uses graphABC; function F1(x:real):real; begin F1:=-x*x-5*x+6; end; function F2(x:real):real; begin F2:=abs(x-1); end;   var xn,xk,max,min,mx,my,dx:real;     x,x1,x2,y1,y2:real;     n,x0,y0,i,k:integer;     s1,s2:string; begin //интервал по Х xn:=-6; xk:=3; //найдем мин. макс. и корни x:=xn; max:=F1(x); min:=F1(x); dx:=0.001; k:=0; while x<=xk+dx do  begin   if F1(x)>max then max:=F1(x);   if F2(x)>max then max:=F2(x);   if F1(x)<min then min:=F1(x);   if F2(x)<min then min:=F2(x);   if abs(F1(x)-F2(x))<dx then     begin      if k=0 then       begin        x1:=x;        y1:=F1(x);        k:=1;       end      else       begin        x2:=x;        y2:=F1(x);       end;     end;   x:=x+dx;  end;  //координатная сетка x0:=round(windowwidth*(-xn)/(xk-xn)); mx:=(windowwidth-30)/(xk-xn); y0:=windowheight div 2; if max>abs(min) then my:=(y0-20)/max else my:=(y0-20)/abs(min); n:=trunc(xk)+1; if max>xk then n:=trunc(max)+1; if trunc(abs(min))+1>n then n:=trunc(abs(min))+1; line(0,y0,windowwidth,y0);{оси} line(x0,0,X0,windowheight); for i:=1 to n do  begin   line(x0-3,y0-round(i*my),x0+3,y0-round(i*my));   line(x0-3,y0+round(i*my),x0+3,y0+round(i*my));   line(x0+round(i*mx),y0-3,x0+round(i*mx),y0+3);   line(x0-round(i*mx),y0-3,x0-round(i*mx),y0+3);   if i mod 2=0 then    begin     textout(x0-20,y0-round(i*my),inttostr(i));     textout(x0-25,y0+round(i*my),inttostr(-i));    end;   textout(x0+round(i*mx),y0+10,inttostr(i));   textout(x0-round(i*mx),y0+10,inttostr(-i));  end; textout(x0+5,y0+10,'0'); textout(windowwidth-10,y0-20,'X'); textout(x0+10,0, 'Y'); //графики x:=xn; while x<=xk do  begin   setpixel(x0+round(x*mx),y0-round(F1(x)*my),clBlue);   setpixel(x0+round(x*mx),y0-round(F2(x)*my),clRed);   x:=x+dx;  end; //пояснения textout(20,y0+30,'Графики функций'); setfontcolor(clBlue); textout(20,y0+45,'y=-x^2-5x+6'); setfontcolor(clRed); textout(20,y0+60,'y=|x-1|'); setfontcolor(clBlack); textout(20,y0+75,'na intervale [-6;3]'); str(x1:5:2,s1); str(y1:5:2,s2); textout(20,y0+105,'x1='+s1+' y1='+s2); str(x2:5:2,s1); str(y2:5:2,s2); textout(20,y0+120,'x2='+s1+' y2='+s2); setbrushcolor(clGreen); //точки пересечения circle(x0+round(x1*mx),y0-round(y1*my),4); circle(x0+round(x2*mx),y0-round(y2*my),4); end.

forundex.ru

Как найти координаты точек пересечения параболы и прямой (система): y=x^2-8, x+y=4 ответ

УСЛОВИЕ:

Как найти координаты точек пересечения параболы и прямой (система): y=x^2-8, x+y=4 ответ есть, главное - решение.

РЕШЕНИЕ:

y=x²-8

x+y=4

 

y=x²-8

y=4-x

 

x²-8=4-x

x²+x-12=0

 

Δ=1²-4*1*(-12)

Δ=1+48

Δ=49

√Δ=7

 

x₁=(-1-7)/(2*1)

x₁=-8/2

x₁=-4

 

x₂=(-1+7)/(2*1)

x₂=6/2

x₂=3

 

y₁=4-(-4)

y₁=8

 

y₂=4-3

y₂=1

 

(-4,8),(3,1)

Из второго уравнения  Y = 4 - X. Подставив это соотношение в первое уравнение, получаем   

X² - 8 = 4 - X

X² + X - 12 = 0

X₁ = -4                       X₂ = 3

Y₁ = 4 - (-4) = 8          Y₂ = 4 - 3 = 1

Итак, прямая и парабола перескаются в точках  А (-4; 8)  и  В (3; 1)

Похожие примеры:

  • Переходя к полярным координатам, найти площадь, ограниченную линиями: x^2 + y^2 = 2x, x^2 + y^2 = 4x, y = x, y = 0 .
  • Алгебра 8 класс. Пусть х1 и х2-корни квадратного уравнения х* +2х-5=0. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 1/х1 и 1/х2. (*-вторая степень /-дробная черта.)
  • 1) 4 авторучки и 2 карандаша стоят 290 то, а 2 авторучки и 5 карандашей стоят 245 тг. Сколько тенге стоит 1 авторучка сколько тенге стоит и 1 карандаш?Варианты:А)110 и 5 тгБ) 6о и 25 тгВ) 50 и 45 тоГ) 100 и 9 тг2) Реши уравнение : (5х-3)+(7х-4)=8- (15-11х)А) 0 Б) 1 В)-1 Г) корней нет3)не выполняя построение графика функции у=-5х-2, найди координаты точки пресечения графика с осями координат4) Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, совпадают, то система уравнений а) имеет единственное решениеБ) не имеет решенияВ) имеет бесконечное множество решенийГ) имеет два решения5) Корнем уравнения называется значение переменной, обращающиеся в чёрное равенствоА) неравенствоБ) уравнениеВ)двойное неравенствоГ) систему неравенств
  • Уравнение |х во второй степени - 4х-1|= а имеют четыре различных корня, если
  • Решите неравенство, используя график квадратичной функции и метод интервалов: 6x^2 - x - 5 > 0
  • mathshkola.ru

    Пересечение прямой и кривой второго порядка

    Уравнение кривой второго порядка
    Уравнение кривой
    Уравнение прямой к угловым коэффициентом
    Уравнение прямой
    Координаты пересечения кривой и прямой
    Первая координата
    Вторая координата

     

    Продолжим наш анализ кривых второго порядка и сейчас  мы готовы представить сервис который позволяет рассчитывать  точки пересечения произвольной прямой и произвольно заданной кривой второго порядка. Таким образом бот позволяет рассчитывать точки пересечения:

     

    - прямой и параболы

    - прямой и эллипса

    - прямой и окружности

    - прямой и гиперболы

    - прямой и параболы

    Для тех посетителей  кому интересно, сообщаем общую формулу расчета точек пересечения кривой второго порядка и прямой

    Если прямая  представлена в виде  , а кривая в виде   то решая квадратное уравнение вида

    где 

    получаем две точки абсцисс , которые являются корнями квадратного уравнения.

    поставив эти значения в уравнение прямой , мы определяем две точки ординат и таким образом у нас есть пара точек  пересечения прямой и кривой.

    Синтаксис для XMPP клиентов

    kp2_line параметры прямой;kp2=коэффициенты кривой через пробел

    параметры прямой -  могут быть различны. лучше по этому вопросы прочитать статью Расчет параметров прямой линии по заданным параметрам

    коэффициенты кривой  - формат  такой же как в статье Расчет кривых второго порядка на плоскости

    Примеры использования

    Найти точки пересечения  прямой проходящей через точки (0, 2) и (-3,-8) и параболы заданная уравнением 

    Прямая задана  двумя точками. Обратившись к вышеупомянутной  статье по расчету прямой линии мы видим,  что параметры линии надо записать так

    параметры прямой через точки

    а коэффициенты кривой второго порядка  имеют вид  3 0 0 -8 -1 3

    Теперь мы записываем  все данные

    kp2_line xa=0;ya=2;xb=-3;yb=-8;kp2=3 00 -8 -1 3

    и получаем результат

    Точки пересечения кривой второго порядка вида

    ( 3 ) x^2 + ( -8 ) x + ( -1 ) y + ( 3 )   = 0

    и прямой вида

    y = 3.3333333333333*x + (2)

    Первая координата x = 3.6874 y = 14.291333333333

    Вторая координата x = 0.0904 y = 2.3013333333333

     

    Определить координаты пересечения прямой  и окружности 

    Для решения этой задачи нам придется  раскрыть скобки   для уравнения окружности

    результат будет вот такой  

    Таким образом коэффициенты кривой будут вот такие

    1 1 0 -6 2 -15

    а коэффиценты прямой запишем вот так

    A=2;B=5;C=-8

    и общий вид запроса будет вот такой

    kp2_line A=2;B=5;C=-8;kp2=1 1 0 -6 2 -15

    Ответ бота

    Точки пересечения кривой второго порядка вида

    ( 1 ) x^2 + ( 1 ) y^2 + ( -6 ) x + ( 2 ) y + ( -15 )   = 0

    и прямой вида

    y = -0.4*x + (1.6)

    Первая координата x = 7.9655 y = -1.5862

    Вторая координата x = -1.0000 y = 2

     

    Истинность расчетов  легко проверяется  подстановкой в уравнение прямой или окружности

    Прямая пересекает ось абсцисс под углом 50 градусов и проходит через точку (2,-1). Определить точки пересечения данной прямой и эллипса который  проходить через три точки (3,-2) (3,1) (-6,-1)

    Несмотря на то, что  нет ниодного явного уравнения, бот сможет Вам дать правильный ответ

    Для прямой линии известны два параметра это координаты точки и угловой коэффициент.

    Угловой коэффициент  связан с углом  к оси абсцисс следующим выражением

     где F - это угол в радианах, а k - это угловой коэффициент

    тогда зная угол в 50 градусов, угловой коэффициент равен 1.19175359259421

    k=1.19175359259421;xa=2;ya=-1

    А для кривой второго порядка  зная, что эллипс может быть выражен  в виде 

    запишем данные таким образом 3:-2 3:1 -6:-1 0 0 1

    kp2_line k=1.19175359259421;xa=2;ya=-1;kp2=3:-2 3:1 -6:-1 0 0 1

    Получаем ответ

    Точки пересечения кривой второго порядка вида

    ( 0.022222222 ) x^2 + ( -0.600000000 ) y^2 + ( -0.200000000 ) xy + ( 1 )   = 0

    и прямой вида

    y = 1.1917535925942*x + (-3.3835071851884)

    Первая координата x = 1.4997 y = -1.5962343223749

    Вторая координата x = 3.6632 y = 0.98212457520267

     

    Удачных расчетов!!

     

    • Периметр многоугольника по его координатам >>

    www.abakbot.ru

    Ответы@Mail.Ru: Как вычислить координаты точек пересечения параболы y=(x)2

    приравнять обе части x2-10=4x+11 решить квадратное уравнение, вычислив дискриминант x2-4x-21=0 x1=7 x2=-3 y1= 7*7-10 y1=39 y2=(-3)*(-3)-10 y2=-1 получили координаты (7;39) и (-3;-1) пожалуйста)

    Построить график или в тетрадке или в excel-е

    Приравнять правые части: х^2-10=4x+11 х=7 и -3 Потом найти у: 39 и -1

    Составь систему двух уравнений, и найди чему равен х и у, это и будет общая (ие) точка (и) , т. е. точки пересечения прямой и параболы. Точками пересечения будут (7;39) и (-3;-1)

    touch.otvet.mail.ru

    П.6.3.Как найти точку пересечения двух прямых? — Мегаобучалка

    Если прямые пересекаются в точке , то её координаты являются решениемсистемы линейных уравнений

    Как найти точку пересечения прямых? Решить систему.

    Вот вам и геометрический смысл системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными – это две пересекающиеся (чаще всего) прямые на плоскости.

    Задачу удобно разбить на несколько этапов. Анализ условия подсказывает, что необходимо:1) Составить уравнение одной прямой .2) Составить уравнение второй прямой .3) Выяснить взаимное расположение прямых . 4) Если прямые пересекаются, то найти точку пересечения.

    Пример 13.

    Найти точку пересечения прямых

    Решение: Точку пересечения целесообразно искать аналитическим методом. Решим систему:

    Ответ:

     

    П.6.4. Расстояние от точки до прямой

    Перед нами прямая полоса реки и наша задача состоит в том, чтобы дойти до неё кратчайшим путём. Препятствий нет, и самым оптимальным маршрутом будет движение по перпендикуляру. То есть, расстояние от точки до прямой – это длина перпендикулярного отрезка.

    Расстояние в геометрии традиционно обозначают греческой буквой «ро», например: – расстояние от точки «эм» до прямой «дэ».

    Расстояние от точкидо прямой выражается формулой

    Пример 14.

    Найти расстояние от точки до прямой

    Решение: всё что нужно - аккуратно подставить числа в формулу и провести вычисления:

    Ответ:

     

    П.6.5. Угол между прямыми.

    Пример 15.

    Найти угол между прямыми .

    1. Проверяем перпендикулярны ли прямые:

    Вычислим скалярное произведение направляющих векторов прямых:, значит, прямые не перпендикулярны.2. Угол между прямыми найдём с помощью формулы:Таким образом:Ответ:

     

    Кривые второго порядка. Окружность

    Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат 0ху.

    Кривой второго порядка называется линия на плоскости, определяемая уравнением второй степени относительно текущих координат точки М(х, у, z). В общем случае это уравнение имеет вид:

    где коэффициенты А, В, С, D, E, L – любые действительные числа, причем хотя бы одно из чисел А, B, С отлично от нуля.

    Далее рассмотрим четыре вида кривых второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола.

    1.Окружностью называется множество точек на плоскости, расстояние от которых до фиксированной точки М0(х0, у0) постоянно и равно R. Точка М0 называется центром окружности, а число R – ее радиусом

    – уравнение окружности с центром в точке М0(х0, у0) и радиусом R.

    Если центр окружности совпадает с началом координат, то имеем:

    – каноническое уравнение окружности.

    Эллипс.

    Эллипсом называется множество точек на плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек есть величина постоянная (причем эта величина больше расстояний между данными точками). Данные точки называются фокусами эллипса.

    – каноническое уравнение эллипса.

    Отношение называется эксцентриситетом эллипса и обозначается: , . Так как , то < 1.

    Следовательно, с уменьшением отношение стремится к 1, т.е. b мало отличается от а и форма эллипса становится ближе к форме окружности. В предельном случае при , получается окружность, уравнение которой есть

    х2 + у2 = а2 .

     

    Гипербола

    Гиперболой называется множество точек на плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек, называемыхфокусами, есть величина постоянная (при условии, что эта величина меньше расстояния между фокусами и не равна 0).

    Пусть F1, F2 – фокусы, расстояние между ними обозначим через 2с,

    – каноническое уравнение гиперболы.

    Отношение называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается , т.е. . Так как , то . Из формулы имеем: ,

    Следовательно, эксцентриситет характеризует форму гиперболы.

    Парабола

    Параболой называется множество точек на плоскости, для каждой из которых расстояние до данной точки (называемой фокусом) равно расстоянию до данной прямой (называемой директрисой).

    Пусть F – фокус, l – директриса параболы, р – расстояние от фокуса F до директрисы l (назовем р параметром параболы).

    – каноническое уравнение параболы.

    Заметим, что уравнение при отрицательном р также задает параболу, которая будет расположена слева от оси 0у . Уравнение описывает параболу, симметричную относительно оси 0у, лежащую выше оси 0х при р > 0 и лежащую ниже оси 0х при р < 0.

     

    megaobuchalka.ru