4. Непрерывность функций. Точки разрыва и их классификация. Исследовать на непрерывность


Исследование функции на непрерывность — Мегаобучалка

Для исследования функции на непрерывность необходимо:

1. Найти область определения функции;

2. Рассмотреть односторонние пределы в точках, где функция не существует; если функция кусочная, то рассмотреть односторонние пределы в точках «склейки»;

3. Исследовать функцию на бесконечности;

4. Построить эскиз графика функции.

Для классификации точек разрыва функции можно пользоваться таблицей, приведенной ниже.

Пусть – заданная функция, – исследуемая точка, – соответственно левый и правый пределы функции.

 

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Задана функция .

Областью определения функции является множество . Действительно, функция не существует в единственной точке , следовательно, эта точка и будет точкой разрыва. Именно в ней мы должны найти односторонние пределы (левосторонний и правосторонний).

· Если отыскивается предел функции в точке при условии, что и , то этот предел, если он существует, называется левосторонним пределом функции и обозначается .

· Если отыскивается предел функции в точке при условии, что и , то этот предел, если он существует, называется правосторонним пределом функции и обозначается .

Найдем односторонние пределы в точке .

· Если левосторонний предел и правосторонний предел функции в точке существуют, но не равны между собой, то есть то точка называется точкой разрыва первого рода.

Согласно теории, точка является точкой разрыва первого рода, то есть в ней функция претерпевает скачок.

Далее исследуем поведение функции на бесконечности, для этого найдем пределы при

Следовательно, – прямая, которая является для функции горизонтальной асимптотой.

Сделаем эскиз графика.

Пример 2. Задана функция .

Областью определения функции является множество . Действительно, функция не существует в единственной точке , следовательно, эта точка и будет точкой разрыва. Определим с помощью односторонних пределов тип разрыва в этой точке.

· - это неопределенность, которую можно раскрыть, разложив на множители числитель и знаменатель.

· Если в точке функция имеет левосторонний и правосторонний пределы, и эти пределы равны между собой, но их значения не совпадают со значением функции в этой точке, то эта точка называется точкой устранимого разрыва:

Делаем вывод, что точка будет точкой устранимого разрыва.

Графиком функции является прямая с выколотой точкой при .

Построим график функции, для этого подберем кроме точки (3,1) еще одну произвольную. Пусть это будет (0,–2).

Сделаем эскиз графика функции.

Устранимый разрыв можно ликвидировать, если доопределить функцию в точке разрыва, задав:

Пример 3. Функция имеет две точки разрыва: и . Найдем односторонние пределы в этих точках.

Рассмотрим Разложив знаменатель на множители и сократив, получим следующее: – это гипербола, с точками разрыва и .

Тогда

Делаем вывод, что точка является точкой устранимого разрыва.

· Если в точке не существует левосторонний или правосторонний предел функции (или оба одновременно), то эта точка называется точкой разрыва второго рода (бесконечный разрыв).

Найдем предел функции на бесконечности:

Следовательно, прямая y= 0 будет горизонтальной асимптотой для заданной функции.

Построим график функции:

Рассмотрим примеры кусочных функций.

Пример 4.

Функции являются непрерывными всюду, кроме, может быть, точек «склейки», то есть в , . Исследуем поведение функции в окрестности этих точек:

При функция определена и равна нулю, а функция в эту точку не заходит по условию.

· Функция называется непрерывной в , если ее левосторонний и правосторонний пределы существуют, между собой равны и равны значению функции в этой точке, то есть

Следовательно, точка x= 0 является точкой непрерывности функции.

Делаем вывод, что точка x= 2 является точкой разрыва первого рода и непрерывна слева (по условию).

Строим график склеенной функции:

Пример 5.

Элементарные непрерывные функции и не определены в точке , а функции и «склеены» в точке , которая, быть может, также является точкой разрыва. Исследуем поведение функции в этих точках.

Точка является точкой устранимого разрыва.

При функция принимает значение, равное 2. Следовательно, точка является точкой непрерывности.

Строим график заданной функции:

Пример 6.

Функция задана несколькими аналитическими выражениями, поэтому точки разрыва могут быть как в точках склейки , , так и в точках , , , где знаменатели дробей обращаются в нуль.

Сделаем некоторые упрощения: Далее будем рассматривать функцию с точками разрыва , .

Исследуем все точки:

Точка – точка разрыва второго рода.

Точка – точка разрыва первого рода, функция непрерывна справа (по условию).

Точка – точка разрыва первого рода, функция непрерывна справа (по условию).

Точка является точкой устранимого разрыва.

Точка является точкой разрыва второго рода.

Исследуем поведение функции при , а функции при .

Сделаем эскиз графика функции:

 

megaobuchalka.ru

§ 5. Непрерывность функций

Непрерывность и построение графиков кусочно-заданных функций – сложная тема. Учиться строить графики лучше непосредственно на практическом занятии. Здесь в основном показано исследование на непрерывность.

Известно, что элементарная функция (см. с. 16) непрерывна во всех точках, в которых определена. Поэтому нарушение непрерывности у элементарных функций возможно только в точках двух типов:

а) в точках, где функция «переопределяется»;

б) в точках, где функция не существует.

Соответственно только такие точки и проверяются при исследовании на непрерывность, что показано в примерах.

Для неэлементарных функций исследование сложнее. Например, функция (целая часть числа) определена на всей числовой оси, но терпит разрыв при каждом целомx. Подобные вопросы выходят за рамки пособия.

Перед изучением материала следует повторить по лекции или учебнику, какими (какого рода) бывают точки разрыва.

Исследование кусочно-заданных функций на непрерывность

Функция задана кусочно, если она на разных участках области определения задаётся разными формулами.

Основная идея при исследовании таких функций – выяснить, задана ли функция в тех точках, в которых переопределяется, и как. Затем проверяется, совпадают ли значения функции слева и справа от таких точек.

Пример 1. Покажем, что функция непрерывна.

Функция элементарна и потому непрерывна в тех точках, в которых определена. Но, очевидно, она определена во всех точках. Следовательно, во всех точках она и непрерывна, в том числе при, как требует условие.

То же справедливо для функции , и приона непрерывна.

В таких случаях непрерывность может нарушаться только там, где функция переопределяется. В нашем примере это точка . Проверим её, для чего найдём пределы слева и справа:

а) ;

б) .

Пределы слева и справа совпадают. Остаётся узнать:

а) определена ли функция в самой точке ;

б) если да, то совпадает ли со значениями пределов слева и справа.

По условию, если , то. Поэтому.

Видим, что (все равны числу 2). Это означает, что в точкефункция непрерывна. Итак, функция непрерывна на всей оси, включая точку .

Замечания к решению

а) При вычислениях не играло роли, подставляем мы в конкретную формулу число или. Обычно это важно, когда получается деление на бесконечно малую величину, поскольку влияет на знак бесконечности. Здесь жеиотвечают только завыбор функции;

б) как правило, обозначения иравноправны, то же касается обозначенийи(и справедливо для любой точки, а не только для). Дальше для краткости применяются обозначения вида;

в) когда пределы слева и справа равны, для проверки на непрерывность фактически остаётся посмотреть, будет ли одно из неравенств нестрогим. В примере таковым оказалось 2-е неравенство.

Пример 2. Исследуем на непрерывность функцию .

По тем же причинам, что в примере 1, непрерывность может нарушаться только в точке . Проверим:

а) ;

б) .

Пределы слева и справа равны, но в самой точке функция не определена (неравенства строгие). Это означает, что– точкаустранимого разрыва.

«Устранимый разрыв» означает, что достаточно или сделать любое из неравенств нестрогим, или придумать для отдельной точки функцию, значение которой приравно –5, или просто указать, что, чтобы вся функциястала непрерывной.

Ответ: точка – точка устранимого разрыва.

Замечание 1. В литературе устранимый разрыв обычно считается частным случаем разрыва 1-го рода, однако студентами чаще понимается как отдельный тип разрыва. Во избежание разночтений будем придерживаться 1-й точки зрения, а «неустранимый» разрыв 1-го рода оговаривать особо.

Пример 3. Проверим, непрерывна ли функция

В точке

а) ;

б) .

Пределы слева и справа различны: . Независимо от того, определена ли функция при(да) и если да, то чему равна (равна 2), точка–точка неустранимого разрыва 1-го рода.

В точке происходитконечный скачок (от 1 к 2).

Ответ: точка – точка неустранимого разрыва 1-го рода.

Замечание 2. Вместо иобычно пишутисоответственно.

Возможен вопрос: чем отличаются функции

и ,

а также их графики? Правильный ответ:

а) 2-я функция не определена в точке ;

б) на графике 1-й функции точка «закрашена», на графике 2-й – нет («выколотая точка»).

Точка , где обрывается график, не закрашена на обоих графиках.

Сложнее исследовать функции, по-разному определённые на трёх участках.

Пример 4. Непрерывна ли функция ?

Так же, как в примерах 1 – 3, каждая из функций ,инепрерывна на всей числовой оси, в том числе – на участке, на котором задана. Разрыв возможен только в точкеили (и) в точке, где функция переопределяется.

Задача распадается на 2 подзадачи: исследовать на непрерывность функции

и ,

причём точка не представляет интереса для функции, а точка– для функции.

1-й шаг. Проверяем точку и функцию(индекс не пишем):

а) ;

б) .

Пределы совпадают. По условию, (если пределы слева и справа равны, то фактически функция непрерывна, когда одно и из неравенств нестрогое). Итак, в точкефункция непрерывна.

2-й шаг. Проверяем точку и функцию:

а) ;

б) .

Поскольку , точка– точка разрыва 1-го рода, и значение(и то, есть ли оно вообще) уже не играет роли.

Ответ: функция непрерывна во всех точках, кроме точки , где имеет место неустранимый разрыв 1-го рода – скачок от 6 к 4.

Пример 5. Найти точки разрыва функции .

Действуем по той же схеме, что в примере 4.

1-й шаг. Проверяем точку :

а) , поскольку слева отфункция постоянна и равна 0;

б) (– чётная функция).

Пределы совпадают, но при функция по условию не определена, и получается, что– точка устранимого разрыва.

2-й шаг. Проверяем точку :

а) ;

б) – значение функции не зависит от переменной.

Пределы различны: , точка– точка неустранимого разрыва 1-го рода.

Ответ: – точка устранимого разрыва,– точка неустранимого разрыва 1-го рода, в остальных точках функция непрерывна.

Пример 6. Непрерывна ли функция ?

Функция определена при, поэтому условиепревращается в условие.

С другой стороны, функция определена при, т.е. при. Значит, условиепревращается в условие.

Получается, что должно выполняться условие , и область определения всей функции – отрезок.

Сами по себе функции иэлементарны и потому непрерывны во всех точках, в которых определены – в частности, и при.

Остаётся проверить, что происходит в точке :

а) ;

б) .

Поскольку , смотрим, определена ли функция в точке. Да, 1-е неравенство – нестрогое относительно, и этого достаточно.

Ответ: функция определена на отрезке и непрерывна на нём.

Более сложные случаи, когда одна из составляющих функций неэлементарна или не определена в какой-либо точке своего отрезка, выходят за рамки пособия.

НФ1. Постройте графики функций. Обратите внимание, определена ли функция в той точке, в которой переопределяется, и если да – каково значение функции (слово «если» в определении функции для краткости пропущено):

1) а) б)в)г)

2) а) б)в)г)

3) а) б)в)г)

4) а) б)в)г)

Пример 7. Пусть . Тогда на участкестроим горизонтальную прямую, а на участкестроим горизонтальную прямую. При этом точка с координатами«выколота», а точка«закрашена». В точкеполучается разрыв 1-го рода («скачок»), и.

НФ2. Исследуйте на непрерывность функции, по-разному определённые на 3-х интервалах. Постройте графики:

1) а) б)в)

г) д)е)

2) а) б)в)

г) д)е)

3) а) б)в)

г) д)е)

Пример 8. Пусть . На участкестроим прямую, для чего находими. Соединяем точкииотрезком. Сами точки не включаем, поскольку приифункция по условию не определена.

На участке иобводим осьOX (на ней ), однако точкии«выколоты». В точкеполучаем устранимый разрыв, а в точке– разрыв 1-го рода («скачок»).

НФ3. Постройте графики функций и убедитесь в их непрерывности:

1) а) б)в)

г) д)е)

2) а) б)в)

г) д)е)

НФ4. Убедитесь в непрерывности функций и постройте их графики:

1) а) б)в)

2 а) б)в)

3) а) б)в)

НФ5. Постройте графики функций. Обратите внимание на непрерывность:

1) а) б)в)

г) д)е)

2) а) б)в)

г) д)е)

3) а) б)в)

г) д)е)

4) а) б)в)

г) д)е)

5) а) б)в)

г) д)е)

НФ6. Постройте графики разрывных функций. Обратите внимание на значение функции в той точке, где функция переопределяется (и существует ли оно):

1) а) б)в)

г) д)е)

2) а) б)в)

г) д)е)

3) а) б)в)

г) д)е)

4) а) б)в)

г) д)е)

5) а) б)в)

г) д)е)

НФ7. То же задание, что и в НФ6:

1) а) б)в)

г) д)е)

2) а) б)в)

г) д)е)

3) а) б)в)

г) д)е)

4) а) б)в)

г) д)е)

studfiles.net

Исследование функции на непрерывность — Мегаобучалка

Пусть функция определена на интервале , содержащем точку , за исключением, быть может, самой точки .

Точка , в которой не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции, называется точкой разрыва функции. Точки разрыва бывают двух типов.

Точка называется точкой разрыва I-го рода, если функция не определена в ней, но существуют конечные односторонние пределы . При этом, если , то точка – точка устранимого разрыва. Если односторонние пределы не равны между собой, то есть , то – точка разрыва I-го рода типа "конечного скачка". Число называется скачком функции в точке .

Точка называется точкой разрыва II-го рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

 

Схема исследования функции на непрерывность:

1) Найти область определения функции, точки разрыва.

2) Определить тип точек разрыва.

3) Определить характер разрыва в точках разрыва I-го рода.

4) Найти вертикальные асимптоты , если –точка разрыва II-го рода.

5) Найти, если есть, горизонтальные асимптоты графика функции где .

6) Построить эскиз графика функции хотя бы в окрестности точек разрыва, если затруднительно построить его в целом.

 

Пример12. Исследовать на непрерывность функции

 

а) ; б) и построить эскизы их графиков.

Решение.

а) Так как

 

то

 

Функция определена на всей числовой оси. Подозрительной на разрыв точкой является точка . Найдем односторонние пределы функции в этой точке: , следовательно, функция непрерывна как при , так и при всех других значениях . Вертикальных асимптот нет, так как нет точек разрыва II-го рода. Горизонтальных асимптот нет тоже, поскольку . График функции изображен на рис.1.

 

 
 

 

 

Рис.1.

 

б) 1. Область определения функции D: , – точка разрыва, так как не определена.

2. Найдем пределы слева и справа, чтобы определить тип точки разрыва:

 

Итак, , значит, – точка разрыва II -го рода.

 

3. – скачок функции.

4. – вертикальная асимптота графика функции, так как .

5. , следовательно, – горизонтальная асимптота.

Эскиз графика функции имеет вид:

 
 

 

 

Рис.2.

 

Вопросы к теории:

1. Действительные числа. Свойства действительных чисел.

2. Функция. Примеры функций.

3. Понятие предела функции в точке. Геометрический смысл предела функции.

4. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел.

5. Теорема о переходе к пределу в неравенствах

6. Теорема о пределе промежуточной функции.

7. Теорема об арифметических операциях над пределами.

8. Понятие сложной функции. Теорема о замене переменной для пределов функции.

9. Предел функции в бесконечности. Неопределенности.

10. Понятие числовой последовательности и ее предела.

11. Теореме о пределе монотонной ограниченной последовательности. Число е. Натуральные логарифмы.

12. Теорема Больцано - Вейерштрасса.

13. Непрерывность функции в точке. Теорема о непрерывности суммы, произведения, частного непрерывных функций.

14. Непрерывность основных элементарных функций. Гиперболические функции, их графики.

15. Теорема о непрерывности сложной функции.

16. Обратная функция, теорема о существовании непрерывной обратной функции.

17. Первый замечательный предел.

18. Бесконечно малые функции и их основные свойства.

19. Второй замечательный предел.

20. Теорема о связи между функцией, ее пределом и бесконечно малой.

21. Бесконечно большие функции. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.

22. Сравнение бесконечно малых функций.

23. Условие эквивалентности бесконечно малых функций.

24. Таблица эквивалентностей.

25. Теорема об эквивалентных бесконечно малых, применяемая при вычислении пределов.

26. Классификация разрывов функции. Схема исследования функций на непрерывность.

 

Упражнения:

1. Доказать эквивалентность неравенств: .

2. Доказать, что для любых и имеют место неравенства: .

3. Доказать, что если , то .

4. Доказать, что отбрасывание или замена конечного числа членов последовательности не влияют на сходимость последовательности, причем в случае сходящейся последовательности не влияют на величину предела.

5. Пусть , а не существует, . Что можно сказать о в каждом из этих случаев?

6. Пусть имеет предел в точке , а функция не имеет предела в этой точке. Будут ли существовать пределы: , . Рассмотреть пример

7. При каких значениях функция будет не ограничена при ?

8. Функцию , имеющую предел при , представить в виде суммы постоянной величины и некоторой функции, бесконечно малой при .

9. Доказать, что если – непрерывная функция, то функция также непрерывная. Верно ли обратное утверждение?

10. Исследовать непрерывность функции Дирихле.

 

 

megaobuchalka.ru

Непрерывность функции в точке и на промежутке. С примерами

К понятию непрерывной функции математика пришла, изучая в первую очередь различные законы движения. Пространство и время бесконечны, и зависимость, например, пути s от времени t, выраженная законом s = f(t), даёт пример непрерывной функции f(t). Непрерывно изменяется и температура нагреваемой воды, она также является непрерывной функцией от времени: T = f(t). Непрерывна и линия, если её можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги. Эта линия и является графиком непрерывной функции.

Графически функция непрерывна в точке , если её график не "разрывается" в этой точке. График такой непрерывной функции - показан на рисунке ниже.

Определение непрерывности функции через предел. Функция является непрерывной в точке при соблюдении трёх условий:

Если хотя бы одно из этих условий не соблюдено, функция не является непрерывной в точке. При этом говорят, что функция терпит разрыв, а точки на графике, в которых график прерывается, называются точками разрыва функции. График такой функции , терпящей разрыв в точке x=2 - на рисунке ниже.

Пример 1. Функция f(x) определена следующим образом:

Будет ли эта функция непрерывной в каждой из граничных точек её ветвей, то есть в точках x = 0, x = 1, x = 3?

Решение. Проверяем все три условия непрерывности функции в каждой граничной точке. Первое условие соблюдается, так как то, что функция определена в каждой из граничных точек, следует из определения функции. Осталось проверить остальные два условия.

Точка x = 0. Найдём левосторонний предел в этой точке:

.

Найдём правосторонний предел:

.

Предел функции и значение функции в точке x = 0 должны быть найдены при той ветви функции, которая включает в себя эту точку, то есть второй ветви. Находим их:

.

Как видим, предел функции и значение функции в точке x = 0 равны. Следовательно, функция является непрерывной в точке x = 0.

Точка x = 1. Найдём левосторонний предел в этой точке:

.

Найдём правосторонний предел:

Предел функции и значение функции в точке x = 1 должны быть найдены при той ветви функции, которая включает в себя эту точку, то есть второй ветви. Находим их:

.

Предел функции и значение функции в точке x = 1 равны. Следовательно, функция является непрерывной в точке x = 1.

Точка x = 3. Найдём левосторонний предел в этой точке:

Найдём правосторонний предел:

Предел функции и значение функции в точке x = 3 должны быть найдены при той ветви функции, которая включает в себя эту точку, то есть второй ветви. Находим их:

.

Предел функции и значение функции в точке x = 3 равны. Следовательно, функция является непрерывной в точке x = 3.

Основной вывод: данная функция является непрерывной в каждой граничной точке.

Непрерывное изменение функции можно определить как изменение постепенное, без скачков, при котором малое изменение аргумента влечёт малое изменение функции .

Проиллюстрируем это непрерывное изменение функции на примере.

Пусть над столом висит на нитке груз. Под действием этого груза нитка растягивается, поэтому расстояние l груза от точки подвеса нити является функцией массы груза m, то есть l = f(m), m≥0.

Непрерывность функции на промежутке

Пусть функция y = f(x) определена в интервале ]a, b[ и непрерывна в каждой точке этого интервала. Тогда она называется непрерывной в интервале ]a, b[. Аналогично определяется понятие непрерывности функции на промежутках вида ]- ∞, b[, ]a, + ∞[, ]- ∞, + ∞[. Пусть теперь функция y = f(x) определена на отрезке [a, b]. Разница между интервалом и отрезком: граничные точки интервала не входят в интервал, а граничные точки отрезка входят в отрезок. Здесь следует упомянуть о так называемой односторонней непрерывности: в точке a, оставаясь на отрезке [a, b], мы можем приближаться только справа, а к точке b - только слева. Функция называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

Примером непрерывной функции может служить любая из элементарных функций. Каждая элементарная функция непрерывна на любом отрезке, на котором она определена. Например, функции и непрерывны на любом отрезке [a, b], функция непрерывна на отрезке [0, b], функция непрерывна на любом отрезке, не содержащем точку a = 2.

Пример 2. Исследовать функцию на непрерывность.

Решение. Проверяем первое условие. Функция не определена в точках - 3 и 3. По меньшей мере одно из условий непрерывности функции на всей числовой прямой не выполняется. Поэтому данная функция является непрерывной на интервалах

.

Пример 3. Определить, при каком значении параметра a непрерывна на всей области определения функция

Решение. Найдём левосторонний предел функции в точке :

.

Найдём правосторонний предел при :

.

Очевидно, что значение в точке x = 2 должно быть равно ax:

Ответ: функция непрерывна на всей области определения при a = 1,5.

В математическом анализе доказаны некоторые свойства, которыми обладают непрерывные функции. Приведём важнейшие из этих свойств.

1. Если непрерывная на интервале функция принимает на концах интервала значения разных знаков, то в некоторой точке этого отрезка она принимает значение, равное нулю. В более формальном изложении это свойство дано в теореме, известной как первая теорема Больцано-Коши.

2. Функция f(x), непрерывная на интервале [a, b], принимает все промежуточные значения между значениями в концевых точках, то есть, между f(a) и f(b). В более формальном изложении это свойство дано в теореме, известной как вторая теорема Больцано-Коши.

3. Если функция непрерывна на интервале, то на этом интервале она достигает своего наибольшего и своего наименьшего значения: если m - наименьшее, а M - наибольшее значение функции на интервале [a, b], то найдутся на этом отрезке такие точки и , что и . Теорема, в которой изложено это свойство, называется второй теоремой Вейерштрасса.

Пример 5. Используя первое из приведённых выше свойств непрерывных функций, доказать, что уравнение имеет по меньшей мере один вещественный корень в интервале [1; 2].

Решение.

Пусть .

Вычислим значения функции при x = 1 и x = 2.

.

.

Получили, что функция на концах интервала принимает значения разных знаков: и , т. е.

Следовательно, в интервале [1; 2] существует такое число a, при котором f(a) = 0. То есть, уравнение имеет по меньшей мере один вещественный корень в данном интервале.

Установление непрерывности функции может быть как самостоятельной задачей, так и частью Полного исследования функции и построения графика.

Весь раздел "Исследование функций"

function-x.ru

Как исследовать функцию на непрерывность?

Исследование функции на непрерывность в точке проводится по уже накатанной рутинной схеме, которая состоит в проверке трёх условий непрерывности:

Пример 1

Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Выполнить чертёж.

Решение:

1) Под прицел попадает единственная точка , в которой функция не определена.

2) Вычислим односторонние пределы:Односторонние пределы конечны и равны.

Таким образом, в точке функция терпит устранимый разрыв.

Как выглядит график данной функции?

Хочется провести упрощение , и вроде бы получается обычная парабола. НО исходная функция не … определена в точке , поэтому обязательна следующая оговорка:

Выполним чертёж:

Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , в которой она терпит устранимый разрыв.

Функцию можно доопределить хорошим или не очень способом, но по условию этого не требуется.

Вы скажете, пример надуманный? Ничуть. Десятки раз встречалось на практике. Почти все задачи сайта родом из реальных самостоятельных и контрольных работ.

Разделаемся с любимыми модулями:

Пример 2

Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Выполнить чертёж.

Решение: почему-то студенты боятся и не любят функции с модулем, хотя ничего сложного в них нет. Таких вещей мы уже немного коснулись на уроке Геометрические преобразования графиков. Поскольку модуль неотрицателен, то он раскрывается следующим образом: , где «альфа» – некоторое выражение. В данном случае , и наша функция должна расписаться кусочным образом:

Но дроби обоих кусков предстоит сократить на . Сокращение, как и в предыдущем примере, не пройдёт без последствий. Исходная функция не определена в точке , так как знаменатель обращается в ноль. Поэтому в системе следует дополнительно указать условие , и первое неравенство сделать строгим:

Теперь об ОЧЕНЬ ПОЛЕЗНОМ приёме решения: перед чистовым оформлением задачи на черновике выгодно сделать чертёж (независимо от того, требуется он по условию или нет). Это поможет, во-первых, сразу увидеть точки непрерывности и точки разрыва, а, во-вторых, 100%-но убережёт от ошибок при нахождении односторонних пределов.

Выполним чертёж. В соответствии с нашими выкладками, слева от точки необходимо начертить фрагмент параболы (синий цвет), а справа – кусок параболы (красный цвет), при этом функция не определена в самой точке :Если есть сомнения, возьмите несколько значений «икс», подставьте их в функцию (не забывая, что модуль уничтожает возможный знак «минус») и сверьтесь с графиком.

Исследуем функцию на непрерывность аналитически:

1) Функция не определена в точке , поэтому сразу можно сказать, что не является в ней непрерывной.

2) Установим характер разрыва, для этого вычислим односторонние пределы:

Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке . Заметьте, что не имеет значения, определена функция в точке разрыва или нет.

Теперь остаётся перенести чертёж с черновика (он сделан как бы с помощью исследования ;-)) и завершить задание:

Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , в которой она терпит разрыв первого рода со скачком.

Иногда требуют дополнительно указать скачок разрыва. Вычисляется он элементарно – из правого предела нужно вычесть левый предел: , то есть в точке разрыва наша функция прыгнула на 2 единицы вниз (о чём нам сообщает знак «минус»).

Пример 3

Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Сделать чертёж.

Это пример для самостоятельного решения, примерный образец решения в конце урока.

Перейдём к наиболее популярной и распространённой версии задания, когда функция состоит из трёх кусков:

Пример 4

Исследовать функцию на непрерывность и построить график функции .

Решение: очевидно, что все три части функции непрерывны на соответствующих интервалах, поэтому осталось проверить только две точки «стыка» между кусками. Сначала выполним чертёж на черновике, технику построения я достаточно подробно закомментировал в первой части статьи. Единственное, необходимо аккуратно проследить за нашими особенными точками: в силу неравенства значение принадлежит прямой (зелёная точка), и в силу неравенство значение принадлежит параболе (красная точка):Ну вот, в принципе, всё понятно =) Осталось оформить решение. Для каждой из двух «стыковых» точек стандартно проверяем 3 условия непрерывности:

I) Исследуем на непрерывность точку

1) – функция определена в данной точке.

2) Найдём односторонние пределы:Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке .

Вычислим скачок разрыва как разность правого и левого пределов: , то есть, график рванул на одну единицу вверх.

загрузка…

II) Исследуем на непрерывность точку

1) – функция определена в данной точке.

2) Найдём односторонние пределы:

– односторонние пределы конечны и равны, значит, существует общий предел.

3) – предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.

Таким образом, функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.

На завершающем этапе переносим чертёж на чистовик, после чего ставим финальный аккорд:

Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки , в которой она терпит разрыв первого рода со скачком.

Готово.

Пример 5

Исследовать функцию на непрерывность и построить её график .

Это пример для самостоятельного решения, краткое решение и примерный образец оформления задачи в конце урока.

Может сложиться впечатление, что в одной точке функция обязательно должна быть непрерывной, а в другой – обязательно должен быть разрыв. На практике это далеко не всегда так. Постарайтесь не пренебрегать оставшимися примерами – будет несколько интересных и важных фишек:

Пример 6

Дана функция . Исследовать функцию на непрерывность в точках . Построить график.

Решение: и снова сразу выполним чертёж на черновике:

Особенность данного графика состоит в том, что при кусочная функция задаётся уравнением оси абсцисс . Здесь данный участок прорисован зелёным цветом, а в тетради его обычно жирно выделяют простым карандашом. И, конечно же, не забываем про наших баранов: значение относится к ветке тангенса (красная точка), а значение принадлежит прямой .

Из чертежа всё понятно – функция непрерывна на всей числовой прямой, осталось оформить решение, которое доводится до полного автоматизма буквально после 3-4-х подобных примеров:

I) Исследуем на непрерывность точку

1) – функция определена в данной точке.

2) Вычислим односторонние пределы:

, значит, общий предел существует.

Случился тут небольшой курьёз. Дело в том, что я создал немало материалов о пределах функции, и несколько раз хотел, да несколько раз забывал об одном простом вопросе. И вот, невероятным усилием воли таки заставил себя не потерять мысль =) Скорее всего, некоторые читатели-«чайники» сомневаются: чему равен предел константы? Предел константы равен самой константе. В данном случае предел нуля равен самому нулю (левосторонний предел).

Едем дальше:

3) – предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.

Таким образом, функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.

II) Исследуем на непрерывность точку

1) – функция определена в данной точке.

2) Найдём односторонние пределы:

И здесь, в правостороннем пределе – предел единицы равен самой единице.

– общий предел существует.

3) – предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.

Таким образом, функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.

Как обычно, после исследования переносим наш чертёж на чистовик.

Ответ: функция непрерывна в точках .

Обратите внимание, что в условии нас ничего не спрашивали про исследование всей функции на непрерывность, и хорошим математическим тоном считается формулироватьточный и чёткий ответ на поставленный вопрос. Кстати, если по условию не требуется строить график, то вы имеете полное право его и не строить (правда, потом преподаватель может заставить это сделать).

Небольшая математическая «скороговорка» для самостоятельного решения:

Пример 7

Дана функция . Исследовать функцию на непрерывность в точках . Классифицировать точки разрыва, если они есть. Выполнить чертёж.

Постарайтесь правильно «выговорить» все «слова» =) И график нарисовать поточнее, точность, она везде лишней не будет 😉

Как вы помните, я рекомендовал незамедлительно выполнять чертёж на черновике, но время от времени попадаются такие примеры, где не сразу сообразишь, как выглядит график. Поэтому в ряде случаев выгодно сначала найти односторонние пределы и только потом на основе исследования изобразить ветви. В двух заключительных примерах мы, кроме того, освоим технику вычисления некоторых односторонних пределов:

Пример 8

Исследовать на непрерывность функцию и построить её схематический график.

Решение: нехорошие точки очевидны: (обращает в ноль знаменатель показателя) и (обращает в ноль знаменатель всей дроби). Малопонятно, как выглядит график данной функции, а значит, сначала лучше провести исследование:

I)Исследуем на непрерывность точку

1) Функция не определена в данной точке.

2) Найдём односторонние пределы:

Обратите внимание на типовой приём вычисления одностороннего предела: в функцию вместо «икса» мы подставляем . В знаменателе никакого криминала: «добавка» «минус ноль» не играет роли, и получается «четыре». А вот в числителе происходит небольшой триллер: сначала в знаменателе показателя убиваем –1 и 1, в результате чего получается . Единица, делённая на бесконечно малое отрицательное число, равна «минус бесконечности», следовательно: . И, наконец, «двойка» в бесконечно большой отрицательной степени равна нулю: . Или, если ещё подробнее: .

Вычислим правосторонний предел:

И здесь – вместо «икса» подставляем . В знаменателе «добавка» снова не играет роли: . В числителе проводятся аналогичные предыдущему пределу действия: уничтожаем противоположные числа и делим единицу набесконечно малое положительное число:

Правосторонний предел бесконечен, значит, функция терпит разрыв 2-го рода в точке .

II)Исследуем на непрерывность точку

1) Функция не определена в данной точке.

2) Вычислим левосторонний предел:

Метод такой же: подставляем в функцию вместо «икса» . В числителе ничего интересного – получается конечное положительно число . А в знаменателе раскрываем скобки, убираем «тройки», и решающую роль играет «добавка» .

По итогу, конечное положительное число, делённое на бесконечно малое положительное число, даёт «плюс бесконечность»: .

Правосторонний предел, как брат близнец, за тем лишь исключением, что в знаменателе выплывает бесконечно малое отрицательное число:

Односторонние пределы бесконечны, значит, функция терпит разрыв 2-го рода в точке .

Таким образом, у нас две точки разрыва, и, очевидно, три ветки графика. Для каждой ветки целесообразно провести поточечное построение, т.е. взять несколько значений «икс» и подставить их в . Заметьте, что по условию допускается построениесхематического чертежа, и такое послабление естественно для ручной работы. Я строю графики с помощью проги, поэтому не имею подобных затруднений, вот достаточно точная картинка:

Прямые являются вертикальными асимптотами для графика данной функции.

Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точек , в которых она терпит разрывы 2-го рода.

Более простая функция для самостоятельного решения:

Пример 9

Исследовать на непрерывность функцию и выполнить схематический чертёж.

Примерный образец решения в конце, который подкрался незаметно.

До скорых встреч!

Решения и ответы:

Пример 3:Решение: преобразуем функцию: . Учитывая правило раскрытия модуля и тот факт, что , перепишем функцию в кусочном виде: Исследуем функцию на непрерывность.1) Функция не определена в точке . 2) Вычислим односторонние пределы: Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке . Выполним чертёж: Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , в которой она терпит разрыв первого рода со скачком. Скачок разрыва: (две единицы вверх).

Пример 5:Решение: каждая из трёх частей функции непрерывна на своём интервале.I)Исследуем на непрерывность точку 1) – функция определена в данной точке.2) Вычислим односторонние пределы: , значит, общий предел существует.3) – предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.Таким образом, функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.II)Исследуем на непрерывность точку 1) – функция определена в данной точке.2) Найдём односторонние пределы: Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке .Скачок разрыва: (пять единиц вниз).Чертёж можно найти в первой части статьи.Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки , в которой она терпит разрыв первого рода со скачком.

Пример 7:Решение:I)Исследуем на непрерывность точку 1) – функция определена в данной точке.2) Найдём односторонние пределы: Левосторонний предел бесконечен, значит, функция терпит разрыв 2-го рода в точке .II)Исследуем на непрерывность точку 1) – функция определена в данной точке.2) Найдём односторонние пределы: Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке .Выполним чертёж: Ответ: В точке функция терпит разрыв 2-го рода, в точке функция терпит разрыв 1-го рода со скачком.

Пример 9:Решение: исследуем на непрерывность точку :1) Функция не определена в данной точке.2) Вычислим односторонние пределы: Левосторонний предел бесконечен, значит, функция терпит разрыв 2-го рода в точке .Выполним чертёж:

Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , в которой она терпит разрыв 2-го рода.

Автор: Емелин Александр

 

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

 

Как найти область определения функции?Примеры решений

 

Если где-то нет чего-то, значит, где-то что-то есть

Продолжаем изучение раздела «Функции и графики», и следующая станция нашего путешествия – Область определения функции. Активное обсуждение данного понятия началось на первом же уроке о графиках функций, где я рассмотрел элементарные функции, и, в частности, их области определения. Поэтому чайникам рекомендую начать с азов темы, поскольку я не буду вновь останавливаться на некоторых базовых моментах.

Предполагается, читатель знает области определения основных функций: линейной, квадратичной, кубической функции, многочленов, экспоненты, логарифма, синуса, косинуса. Они определены на . За тангенсы, арксинусы, так и быть, прощаю =) Более редкие графики запоминаются далеко не сразу.

Область определения – вроде бы вещь простая, и возникает закономерный вопрос, о чём же будет статья? На данном уроке я рассмотрю распространённые задачи на нахождение области определения функции. Кроме того, мы повторим неравенства с одной переменной, навыки решения которых потребуются и в других задачах высшей математики. Материал, к слову, весь школьный, поэтому будет полезен не только студентам, но и учащимся. Информация, конечно, не претендует на энциклопедичность, но зато здесь не надуманные «мёртвые» примеры, а жареные каштаны, которые взяты из настоящих практических работ.

Начнём с экспресс-вруба в тему. Коротко о главном: речь идёт о функции одной переменной . Её область определения – это множество значений «икс», для которыхсуществуют значения «игреков». Рассмотрим условный пример:Область определения данной функции представляет собой объединение промежутков: (для тех, кто позабыл: – значок объединения). Иными словами, если взять любое значение «икс» из интервала , или из , или из , то для каждого такого «икс» будет существовать значение «игрек».

Грубо говоря, где область определения – там есть график функции. А вот полуинтервал и точка «цэ» не входят в область определения, поэтому графика там нет.

Да, кстати, если что-нибудь не понятно из терминологии и/или содержания первых абзацев, таки лучше вернуться к статье Графики и свойства элементарных функций.

Как найти область определения функции? Многие помнят детскую считалку: «камень, ножницы, бумага», и в данном случае её можно смело перефразировать: «корень, дробь и логарифм». Таким образом, если вам на жизненном пути встречается дробь, корень или логарифм, то следует сразу же очень и очень насторожиться! Намного реже встречаются тангенс, котангенс, арксинус, арккосинус, и о них мы тоже поговорим. Но сначала зарисовки из жизни муравьёв:

 

refac.ru

Непрерывность функций

Учреждение образования «Белорусская государственная

сельскохозяйственная академия»

Кафедра высшей математики

Методические указания

по изучению темы «Непрерывность функций одной переменной»

студентами бухгалтерского факультета заочной формы получения

образования (НИСПО)

Горки, 2013

Непрерывность функций одной переменной

  1. Односторонние пределы

Пусть функция определена на множестве . Введём понятие односторонних пределов функции при. Будем рассматривать такие значениях, что . Это означает, что, оставаясь всё время слева от. Если при этом существует предел функции при то он называетсялевым пределом этой функции в точке ( или при) и обозначается

.

Пусть теперь , оставаясь всё время справа от, т.е. оставаясь больше. Если при этом существует предел функции , то он называется правым пределом этой функции в точке и обозначается

.

Левый и правый пределы называются односторонними пределами функции в точке.

Если существуют односторонние пределы функции в точке и они равны между собой, то функция имеет тот же предел в этой точке:

.

Если односторонние пределы функции в точке существуют, но не равны между собой, то предел функции в этой точке не существует.

  1. Непрерывность функции в точке

Пусть функция определена на некотором множестве D. Пусть независимая переменная х переходит от одного своего (начального) значения к другому (конечному) значению. Разность конечного и начального значений называется приращением величины х и обозначается . Приращение может быть как положительным, так и отрицательным. В первом случае величинах при переходе от кх увеличивается, а во втором случае - уменьшается.

Если независимая переменная х получает некоторое приращение , то функция получает приращение . Так как, то.

Приращением функции в точке называется разность, где– приращение независимой переменной.

Можно дать несколько определений непрерывности функции в точке.

  1. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности точкиит.е.при. Это означает, что функция непрерывна в токе, если она определена в окрестности этой точки и если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

  2. Функция называется непрерывной в точке , если предел функции приравен значению функции в этой точке:.

  1. Функция называется непрерывной в точке , если существуют левый и правый пределы этой функции прии если эти пределы равны между собой и равны значению функции в этой точке:

.

Функция называется непрерывной в интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Геометрически непрерывность функции в замкнутом интервале означает, что график функции представляет собой сплошную линию без разрывов.

Непрерывные на отрезке функции обладают важными свойствами, которые выражаются следующими утверждениями.

Если функция непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке.

Если функция непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего и наибольшего значений.

Если функция непрерывна на отрезке [a,b] и , то каким бы ни было числоС, заключённое между числами А и В, найдётся точка , что.

Из этого утверждения следует, что если функция непрерывна на [a, b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, то на этом отрезке существует хотя бы одна точка c, в которой функция обращается в нуль.

Справедливо следующее утверждение: если над непрерывными функциями производить арифметические действия, то в результате получается непрерывная функция.

Пример 1. Исследовать на непрерывность функцию

в точке .

Решение. Значение функции при есть. Вычислим односторонние пределы функции в точке:

,

.

Так как односторонние пределы при равны между собой и равны значению функции в этой точке, то данная функция непрерывна в точке.

3. Непрерывность элементарных функций

Рассмотрим функцию . Эта постоянная функция непрерывна в любой точке, так как.

Функция также непрерывна в каждой точке , так как. Так как, то на основании приведённого утверждения об арифметических операциях над непрерывными функциямибудет непрерывной. Непрерывными будут такжен функции.

Аналогично можно показать непрерывность остальных элементарных функций.

Таким образом, любая элементарная функция непрерывна в своей области определения, т.е. область определения элементарной функции совпадает с областью её непрерывности.

  1. Непрерывность сложной и обратной функций

Пусть функция непрерывна в точке, а функциянепрерывна в точке. Тогда сложная функциянепрерывна в точке. Это означает, что если сложная функция составлена из непрерывных функций, то она также будет непрерывной, т.е.непрерывная функция от непрерывной функции есть функция непрерывная. Это определение распространяется на конечное число непрерывных функций.

Из этого определения следует, что под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу:

.

Это означает, что если функция непрерывна, то знак предела и знак функции можно поменять местами.

Пусть функция определена, строго монотонна и непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда обратная ей функция определена, строго монотонна и непрерывна на отрезке [A, B], где .

  1. Точки разрыва и их классификация

Как уже известно, что если функция определена на множестве D и в точке выполняется условие, то функция непрерывна в этой точке. Если же это условие непрерывности не выполняется, то в точкех0 функция имеет разрыв.

Точка называетсяточкой разрыва первого рода функции , если в этой точке функция имеет конечные односторонние пределы, не равные друг другу, т.е. . При этом величина

называется скачком функции в точке .

Точка называетсяточкой устранимого разрыва функции , если односторонние пределы функции в этой точке равны друг другу и не равны значению функции в этой точке, т.е. В этом случае для устранения разрыва в точкенужно положить

Точка х0 называется точкой разрыва второго рода функции если хотя бы один из односторонних пределов илив этой точке либо не существует, либо равен бесконечности.

Пример 2. Исследовать на непрерывность функцию

.

Решение. Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, за исключением точки . В этой точке функция имеет разрыв. Найдём односторонние пределы функции в точке:

,

.

Так как в точке односторонние пределы равны между собой, а функция в этой точке не определена, то точкаявляется точкой устранимого разрыва. Чтобы устранить разрыв в этой точке, необходимо доопределить функцию, положив.

Пример 3. Исследовать на непрерывность функцию

.

Решение. Функция определена и непрерывна на всём множестве действительных чисел, кроме . В этой точке функция имеет разрыв. Найдём односторонние пределы функции при:

,

.

Так как данная функция в точке имеет конечные односторонние пределы, не равные друг другу, то эта точка является точкой разрыва первого рода. Скачок функции в точкеравен.

Вопросы для самоконтроля знаний

  1. Что называется приращением аргумента и приращением функции?

  2. Что называется левосторонним (левым) пределом функции?

  3. Что называется правосторонним (правым) пределом функции?

  4. Какая функция называется непрерывной в точке, в интервале?

  5. Какая точка называется точкой разрыва функции?

  6. Какая точка называется точкой разрыва первого рода?

  7. Какая точка называется точкой разрыва второго рода?

  8. Какая точка называется точкой устранимого разрыва?

Задания для самостоятельной работы

Исследовать функции на непрерывность:

  1. ; 2) ; 3);

в точке .

10

studfiles.net

4. Непрерывность функций. Точки разрыва и их классификация

4.1. Основные теоретические сведения

Определение. Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х0, если эта функция определена в какой-нибудь окрестности точки х0 и если

то есть бесконечно малому приращению аргумента в окрестности точки х0 соответствует бесконечно малое приращение функции.

Определение. Функция у=f(x) непрерывна в точке х0, если она определена в некоторой окрестности этой точки и если предел функции при стремлении независимой переменной х к х0 существует и равен значению функции при х=х0, то есть

Определение. Пусть х → х0, оставаясь все время слева от х0. Если при этом условии f(x) стремится к пределу, то он называется левым пределом функции f(x) в точке х0, то есть

Аналогично определяется и правый предел

Определение. Функция непрерывна в точке х0 если:

  • функция определена в точке х0;

  • существуют левый и правый пределы функции f(x) при х → х0;

  • все три числа (х0), f(x0 –0), f(x0 +0) совпадают, то есть

Определение. Функция называется непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой его точке.

Теорема. Если две функции f(x) и g(x) определены в одном и том же

интервале и обе непрерывны в точке х0, то в той же точке будут непрерывны и функции

Теорема. Сложная функция, состоящая из конечного числа непрерывных функций, является непрерывной.

Все основные элементарные функции непрерывны в своей области определения.

Определение. Если в какой-либо точке х0 функция не является непрерывной, то точка х0 называется точкой разрыва функции, а сама функция – разрывной в этой точке.

Определение. Если в точке х0 существует конечный lim f(x) = А

(левосторонний и правосторонний пределы существуют, конечны и равны между собой), но он не совпадает со значением функции в точке, или же функция в точке не определена, то точка х0 называется точкой устранимого разрыва. Принятое изображение точки устранимого разрыва представлено на рис. 1.

Рис. 1

Определение. Точкой разрыва первого рода или точкой конечного разрыва называется такая точка х0, в которой функция имеет левый и правый конечные пределы, но они не равны между собой.

На рис. 2 приведено графическое представление разрыва функции первого рода в точке х0

Рис.2

Определение. Если хотя бы один из пределов f(x0 – 0) или f(x0 + 0) не существует или бесконечен, то точка х0 называется точкой разрыва, второго рода.

Графические представления разрывов функций второго рода в точке х0 приведены на рис. 3 (а, б, в).

Приведенные выше определения непрерывности функции f(x) в точке х0

представлены на рис. 4, где отмечено, что основной посылкой при определении непрерывности функции (необходимым условием) в точке х0 является то, что f(x) определена в точке и ее окрестности.

Рис.3

Пример Исследовать на непрерывность, определить характер точек разрыва,

изобразить в окрестности точек разрыва функцию

Решение.

Это рациональная функция Она определена и непрерывна при всех значениях х, кроме х = 1, так как при х = 1 знаменатель обращается, в нуль. В точке х = 1 функция терпит разрыв. Вычислим предел этой функции при

х → 1, имеем

Конечный предел функции при х→ 1 существует, а функция в точке

х = 1 не определена; значит точка х = 1 является точкой устранимого разрыва.

Если доопределить функцию, то есть положить f (1) = 5, то функция

будет непрерывной.

Рис. 4

Поведение функции в окрестности точки х = 1 изображено на рис. 4.

Замечание. Данная функция

неопределенная при х = 1, совпадает с непрерывной функцией

во всех точках кроме х =1

Пример.

Исследовать на непрерывность функцию и определить характер ее точек разрыва

Решение.

Область определения функции – вся числовая ось. На интервалах(–, 0), (0,+) функция непрерывна. Разрыв возможен только в точке х = 0, в которой изменяется аналитическое задание функции.

Найдем односторонние пределы функции:

Левый и правый пределы хотя и конечны, но не равны между собой. Поэтому в точке х = 0 функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в точке разрыва равен

Поведение функции в окрестности точки х = 0 изображено на рис. 5.

Рис. 5

Пример Исследовать функцию f(x) на непрерывность, определить характер ее точек разрыва, изобразить ее поведение в окрестности точек разрыва.

Решение.

Функция определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точек х, = –2 и х2 = 2, причем

не существует.

Вычисляем односторонние пределы в точке х, = –2.

Итак, в точке х = –2 функция терпит разрыв второго рода. Исследуем характер разрыва функции в точке х2 =2. Имеем

В точке х2 =2 функция также терпит разрыв второго рода.

Поведение функции в окрестности точек хх= –2 и х2 = 2 изображено на рис. 6.

Рис. 6

Пример.

Исследовать функцию f(x) = ex+i на непрерывность, определить характер точек разрыва, изобразить поведение функции в окрестности точек разрыва.

Решение.

Функция неопределена прих = –3, поэтому функция непрерывна при всехкромех = –3. Определим характер разрыва функции. Имеем

то есть один из пределов равен бесконечности, а значит функция терпит разрыв

второго рода.

Поведение функции f(x) = ex+3 в окрестности точки разрыва х = –3 изображено на рис. 7

Рис. 7

4.2. Упражнения для самостоятельной работы студентов

1. Исследовать функции на непрерывность, определить характер их точек разрыва, изобразить графически поведение функций в окрестности

2. Исследовать функции на непрерывность, определить характер их точек разрыва, изобразить графически поведение функций в окрестности точек разрыва

studfiles.net